If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:6:56

Transkript

Karel před třemi dny opustil tábor a vydal se na dobrodružnou výpravu do džungle. Jednotlivé dny jeho výpravy lze popsat pomocí vektorů posunutí d1, d2 a d3. Tyto vektory udávají, jakou vzdálenost Karel daný den urazil ve vodorovném a svislém směru. Máme tady tři vektory a poznámku, že všechny složky jsou uvedeny v kilometrech. A ptají se nás na dvě věci. Jak daleko byl Karel od tábora na konci třetího dne? A odpověď zaokrouhli na desetiny kilometru. A v jakém směru od tábora se Karel na konci třetího dne nacházel? Máme předpokládat, že nula stupňů odpovídá směru doprava. A odpovědí by měl být úhel mezi 0 a sto osmdesáti, zaokrouhlený na celé stupně . Ty vektory máme načrtnuté tady, takže my vidíme, že první den se Karel posunul tady z tábora. To je tady, směrem sem, skončil tady. Druhý den začínal tady, tady je jeho počáteční bod druhého dne, a skončil tady. A třetí den začal tady a skončil tady. Když si to představíme pomocí klasických směrů, tady to načrtnu, jen tak velice zhruba. Tady máme sever, tady máme jih. Tady je východ a tady západ. Tak my vidíme, že Karel se posunul na východ a na sever. Takže teď tu máme vodorovný a svislý směr, a tou vodorovnou vlastně můžeme říkat východní, a tomu svislému severní, v našem případě. Takže když vidíme ten první vektor, tak vlastně vidíme, že Karel se posunul o 7 na východ. A o osm na sever, takhle. Potom tu máme d2. Ten vektor, který nám znázorňuje ten druhý den. To je o šest na východ a o 2 na sever. A pak tu máme poslední den, o 2 na východ a o devět kilometrů na sever. Přesně tak, jak je to tady načrtnuté dole . A my máme zjistit, jak daleko byl Karel od tábora na konci třetího dne. Jak to zjistíme? My vlastně hledáme tady tento vektor. To je ta vzdálenost, jak daleko je od toho tábora vzdušnou čarou, a tento vektor začíná v počátečním bodě toho prvního vektoru, končí v koncovém bodě třetího vektoru, a tudíž nám vznikne součtem těchto tří vektorů. Můžeme mu říkat třeba vektor d obecně, bez jakéhokoli čísla. A vznikne součtem těch tří jednotlivých vektorů d1, d2 a d3. Tak pojďme zjistit, jaké bude mít x-ové a y-ové složky. A to zjistíme jednoduše tak, že x-ové a y-ové složky těch jednotlivých vektorů sečteme. V tomto případě je to vlastně naše posunutí na východ a posunutí na sever, takže d se bude rovnat 7 plus 6 plus 2, to jsou ty x-ové, ty východní složky. A y-ová složka, neboli ta, co vyjadřuje o kolik se posunul na sever 8 plus 2 plus 9. Všechno je to v kilometrech. Takže to bude 7 plus 6 plus 2, to je 15. 8 plus 2 plus 9, to je 19, takže 15 a 19 jsou složky toho vektoru, tedy tohoto d, který vznikl součtem těchto tří. A můžeme si to jednoduše ověřit na našem n áčrtku. Tady toto bylo 7, 9, 11, 13, 15, opravdu tady. A 2, 4, 6, 8, 10, a tohle bylo 9, takže to je opravdu 19. Takže tady bude devatenáct, jak už jsem řekla a tady 15, výborně. A to ještě není to, co jsme chtěli dostat . My chceme velikost toho vektoru, chceme tu délku té orientované úsečky, která ho tady znázorňuje, takže velikost tohoto vektoru a ta je jednoduchá. Tady totiž máme pravoúhlý trojúhelník, takže to je vlastně Pythagorova věta, protože délka přepony je odmocninou součtu druhých mocnin délek odvěsen, takže velikost vektoru d je odmocnina z jedné odvěsny na druhou, takže 15 na druhou, plus druhá odvěsna na druhou, 19 na druhou. To je odmocnina z, pojďme vytáhnout kalkulačku. 15 krát 15, to je 225 plus 19 na druhou, 19 krát 19, 361. Takže plus 225. Chceme z toho odmocninu. Tak, máme zaokrouhlit odpověď na desetiny kilometrů, takže 24 celých 2, zhruba. Takže tady máme 24 celých 2, 24 celých dvě desetiny kilometru, tak daleko byl Karel od tábora na konci třetího dne. A máme ještě zjistit, v jakém směru se nacházel. Nula stupňů má být tedy směr doprava, na východ. Takže my vlastně chceme tento úhel. Můžeme mu říkat klasicky theta, což je vlastně úhel, který ta orientovaná úsečka svírá s kladnou poloosou x. Když si to představíme v souřadnicích x a y. Opět jednoduché, protože máme pravoúhlý trojúhelník. Známe všechny tři strany, ale ne zaokrouhlené mám dvě, protilehlou a přilehlou. Jaká goniometrická funkce používá protilehlou a přilehlou stranu pravoúhlého trojúhelníku k úhlu? Tangens. Takže tangens thety bude roven protilehlá ku přilehlé, 19 děleno 15 . Chceme jenom thetu, takže budeme potřebovat inverzní funkci k funkci tangens, arkus tangens devatenáct děleno patnácti. Jenom dobré připomenout, že arkus tangens nám dá správný výsledek bez upravování pouze pro úhly mezi minus 90 stupni a plus 90. Tedy z prvního a čtvrtého kvadrantu. My vidíme, že to je úhel mezi nulou a devadesáti, z prvního kvadrantu, takže nebudeme muset výsledek nijak upravovat. Tak to pojďme teď dopočítat. 19 děleno 15. A z toho chceme inverzní tangens, zaokrouhlit na celé stupně, takže zhruba padesát dva stupňů. Karel se nacházel ve směru padesáti dvou stupňů od tábora na konci toho třetího dne. Tak a máme hotovo.