Grafické i početní sčítání vektorů

Dnes se ještě znovu podíváme na sčítání vektorů. Máme tady dva dvourozměrné vektory, vektor a a vektor b. Máme je tentokrát zadány ve sloupcové formě jako sloupcové vektory. Ale je to to samé jako bychom napsali, že to je 6 a minus dva, tak jak už to znáte z předešlých videí. Máme tady dva dvourozměrné vektory. A já bych se chtěla zaměřit na to, jak bychom mohli zadefinovat součet těchto dvou vektorů, vektoru a plus vektoru b. Řeknu to ještě jednou. Jsme v dvourozměrném prostoru, máme tady dvě složky. Oba dva vektory mají dvě složky. Takže chceme-li je sečíst, zřejmě by asi bylo dobré sečíst ty odpovídající složky, tu první tedy tu x-ovou a tu y-ovou a dostaneme ten součet. Takže výsledný vektor, součet a plus b, bude 6 plus minus 4 a tedy 2, a minus dva plus čtyři, což je taky 2. Takže výsledný vektor bude 2 a 2. Pohybujeme-li se v reálných souřadnicích, tak můžeme říct, že oba dva ty vektory, já to tu napíšu jen tak pro zajímavost, kdybyste někdy ten zápis viděli, vektory a i vektory b náleží do dvourozměrného prostoru do R2. Jsou to vlastně dvě uspořádané dvojice. Každá složka obou vektorů je definovaná v oboru reálných čísel. Definiční obor takového vektoru je tedy R krát R. Reálná čísla krát reálná čísla, tedy R na druhou. Tak jsme si to hezky zadefinovali aritmeticky, pojďme se na to podívat graficky. Tento zápis nám vlastně ukazuje, o kolik se posuneme vodorovně a svisle, tedy podél osy x a podél osy y. Takže pojďme si načrtnout vektor a. Umístíme jeho počáteční bod v počátku soustavy souřadnic, ale vůbec to tak dělat nemusíme, to už určitě víte. Ale bude to aspoň hezky vidět. 6 a minus 2. To je tady. 6 podél osy x, minus 2 podél osy y, takže náš výsledný vektor bude vypadat nějak takto. To je vektor a. U vektorů je důležitá jeho velikost, délka té orientované úsečky a směr vektoru. Je jedno, kde ten vektor je, my si ho můžeme libovolně posouvat v tom prostoru. Takže vektor a je i toto a je to i toto. Toto všechno je vektor a, protože je důležitá pouze jeho velikost a jeho směr. Vektor a na třech různých pozicích. Vektor b. Vektor b, minus 4 a 4, opět umístíme počáteční bod do počátku soustavy souřadnic, minus 4 a 4. Takže vektor b bude vypadat nějak takto. A opět to samé. Můžu si ho tady libovolně posouvat. I toto je vektor b. I toto je vektor b. Záleží pouze na jeho velikosti a směru. Součtem těchto dvou vektorů je tedy vektor 2 a 2, ještě ten si zakreslíme. 2 a 2. Tak to už je jednoduché, na tom není moc třeba co ukazovat. Tak, 2 a 2. Vektor, který je součtem. To bychom měli, ale jak z tohoto a z tohoto najednou dostaneme tento vektor? Pojďme si to představit následovně. Vektor a nás posune z jeho počátečního bodu do jeho koncového bodu, posune nás odsud sem. Chceme-li sčítat ty dva vektory, tak bychom se měli podívat, kam nás z tohoto bodu posunuje ten druhý vektor, tedy kde skončíme. A potom takhle vlastně dostaneme jejich součet, součet toho, kam nás ty vektory vlastně společně posunou. Takže já si zkopíruju ten vektor b, jak už jsem to udělala předtím, a posunu jeho počáteční bod do koncového bodu toho vektoru a. Takže budu vlastně pokračovat tam, kde vektor a skončil, a někam se zase dostanu. A vy už to krásně vidíte, já to zkusím hezky napasovat. Takže začali jsme tady, vektor a nás posunul sem. Pokračujeme odsud, vektor b nás posunul do tohoto bodu, takže vidíme, že ten výsledný vektor má počáteční bod v počátku, odkud jsme začali, a koncový bod v tom bodě, kam nás ty dva vektory dostaly. Tady je to moc hezky vidět, takže je to vlastně, jak jsme se posunuli vzhledem k počátku soustavy souřadnic. V tomto případě. To jsme měli a plus b, ale třeba by vás zajímalo, jak by to bylo, kdybychom chtěli spočítat b plus a. Jelikož jsme si to zadefinovali tak, že sčítáme ty jednotlivé odpovídající složky, a u součtu na pořadí nezáleží, tak by to mělo být stejné. Minus čtyři plus 6, to je 2, 4 plus minus 2 je 2. Takže nám to hezky sedí. A kdybychom si to chtěli ukázat ještě tady, tak zase si můžeme zkopírovat ty vektory, které už jsme tady nakreslili a podívat se, jak by to vypadalo. Máme tady třeba, tady máme hezky vektor b, a pojďme si k němu zkopírovat ten vektor a. Teď budeme začínat vektorem b a do jeho koncového bodu posuneme vektor a, ten bude začínat v jeho koncovém bodu a někam nás posune. Takže začali jsme vektorem b a pokračujeme vektorem a. A výsledný vektor opět a zase bude mít počátek v počátečním bodě toho prvního vektoru, koncový bod v koncovém bodě toho druhého vektoru. Takže bude vypadat takto. A vy už určitě vidíte, že to je ten samý vektor, vektor 2 a 2, jenom se nachází na jiné pozici v tom prostoru. Takže opravdu, b plus a je to stejné jako a plus b.