Sčítání a odčítání vektorů

Dneska se podíváme na to, jak sčítat a odčítat vektory v našem dvojrozměrném prostoru. Jak na to? Budeme mít jeden vektor, vektor a, který bude mít složky například tři a minus jedna, a potom budeme mít nějaký vektor b, který bude mít složky 2 a 3. Jak bychom to udělali, kdybychom chtěli sečíst tyto dva vektory, tedy provést a plus b. A já vám teď prozradím, že to je úplně jednoduché. Sčítáme-li dva vektory, tak prostě a jednoduše sečteme jejich x-ové složky a jejich y-ové složky. A tak dostaneme výsledný vektor. Takže výsledný vektor, který vznikne součtem vektorů a a b, bude mít složky, ta x-ová bude 3, 3 plus 2, a ta y-ová bude minus jedna plus 3. Teď už to jenom sečteme a dostaneme 3 plus 2 je 5, minus jedna plus tři jsou 2. Výsledný vektor má tedy složky 5 a 2. A jak by to vypadalo, kdybychom je zkusili od sebe odečíst, tedy a minus b. Už vás asi napadá, že to bude úplně obdobné, úplně jednoduché, že nebudeme ty x-ové a y-ové složky sčítat ale odečítat, takže to bude 3 a ne plus 2, ale minus 2, a nebude to minus jedna plus 3, ale minus jedna minus 3, úplně jednoduše. A výsledný vektor, rozdíl a minus b, bude jedna a minus 4. Myslím, že to je úplně jednoduché. Pojďme si to ještě ukázat graficky. Začneme tím, že si načrtneme vektor a, umístíme jeho počáteční bod do počátku soustavy souřadnic, protože je to nejjednodušší. Mohli bychom samozřejmě začít kdekoli, stačí, když ten vektor bude mít stejnou velikost a stejný směr, potom je to stále vektor a, ale je nejjednodušší začít v počátku soustavy souřadnic. Takže tři a minus jedna, tři a minus jedna. Vektor a bude vypadat takto, to je vektor a, a my chceme k němu přičíst vektor b. Vektor b má složky 2 a 3. Kdybychom jeho počátek umístili také do počátku souřadnic, tak by to bylo 2 a 3. Já to tu jen tak načrtnu, nebudu to kreslit, protože chceme dělat něco jiného. Ten vektor by vedl nějak takto. Ale to by nám k tomu sčítání těch vektorů moc nepomohlo. Zkusme si ho někam posunout. A když sčítáme, tak bychom si ho ideálně chtěli posunout tak, že jeho počáteční bod bude tady, Kde je koncový bod vektoru a. Takže odsud povedeme vektor b, 2 a raz, dva, tři, y-ová složka, 2 a 3. Takže v koncovém bodě vektoru a bude počáteční bod vektoru b, a vektor b bude končit tady. Jak jsme si to pomocí jeho složek odvodili. Vidíme, že to je stejný vektor, jenom je posunutý v prostoru. Stejná velikost, stejný směr. A ten výsledný vektor, ten součet toho vektoru a a b, bude mít počátek v počátečním bodě vektoru a, a koncový bod v koncovém bodě vektoru b. Takže chceme-li součet, budeme ho mít fialově, tak to bude tento vektor, který bude mít složky 5 a 2, tady to je hezky vidět. A opravdu, 5 a 2 je to, co jsme si spočítali. A chceme-li rozdíl těchto dvou vektorů a minus b, tak vektor a, ten můžeme nechat tak, jak je. Ale vektor b nebudeme přičítat ale odečítat. Což vlastně znamená, že budeme provádět a plus minus b. Takže budeme k a přičítat opačný vektor, bude mít stejnou velikost ale opačný směr, tudíž povede nějak takto. Takže nebudeme tedy 2 přičítat ale odečítat, a opět y-ová složka nebude 3 ale minus 3, takže tady. Takže když vektor minus b povede opět odsud, tak bude směřovat takto. Vidíme, že to je opravdu opačný vektor, tedy má stejnou velikost, ale je opačně orientovaný, a výsledný vektor a minus b bude mít opět počátek v počátečním bodě vektoru a, koncový bod v koncovém bodě vektoru b, a bude tedy vypadat nějak takto. Tak, to je náš výsledný vektor a minus b, který má složky jedna a minus čtyři, jedna a minus čtyři. Přesně jak jsme to tady spočítali. Takže já myslím, že to je úplně jednoduché. Jenom to krátce zopakuji. Pokud chceme sčítat nebo odečítat vektory, prostě vezmeme jejich jednotlivé složky x-ové a y-ové. A ty buď sečteme nebo od sebe odečteme.