Řešený příklad: jak zjistit jednotkový vektor s daným směrem

Dnes se budeme zase bavit o jednotkových vektorech. Už jsme si řekli, že jednotkový vektor má nějaký určitý směr, ale co je důležité, je to, že jeho velikost je rovna jedné. Vezměme si nějaký vektor. Třeba vektor a, který bude mít složky například, když se posunu ve vodorovném směru o 3, tak se posunu ve svislém směru o 4, takže bude mít složky 3 a 4. Když si budu chtít spočítat velikost toho vektoru a, tak velikost toho vektoru je vlastně délka té orientované úsečky, pomocí které ho můžeme znázornit. Tak si to ukažme ještě graficky. Já to tady tak zhruba načrtnu. Takže říkali jsme tři ve vodorovném směru, 4 ve svislém, tak třeba takto, zhruba. Takže vektor a je vlastně jakoby součet těchto dvou vektorů, takže ten vektor a bude mít počáteční bod v počátečním bodě toho prvního vektoru, koncový bod v koncovém bodě toho druhého vektoru. To už známe. Takže tohle to je náš vektor a a budeme-li chtít znát jeho velikost, tak vidíme tady na první dobrou, to už známe, že toto je pravoúhlý trojúhelník. Toto je jeho přepona, odvěsny, a délku přepony spočítáme jako odmocninu součtu druhých mocnin odvěsen, takže to vlastně bude tedy, jak jsme řekli, odmocnina součtu druhých mocnin těch dvou složek. Takže bude to odmocnina z tří na druhou plus čtyři na druhou. Takže to vlastně bude odmocnina z 9 plus 16. To je dvacet pět a tedy pět. Velikost vektoru a je tedy 5. Takže vidíme hned, že to není jednotkový vektor. No ale co kdybychom chtěli jednotkový vektor, který má tedy velikost jedna, ale má stejný směr jako ten vektor a, byl by to tedy vektor, který by vypadal nějak takto. Byla by to prostě jedna pětina toho vektoru a, protože by měl velikost pouze jedna. Jak bychom to tedy mohli udělat? Už jsem to teď řekla. Vlastně by měl pětinovou velikost oproti vektoru a, a tedy by stačilo všechno, tedy obě dvě ty složky vektoru a vynásobit jednou pětinou. Neboli tedy všechno vydělit velikostí vektoru a. Když pětku vydělím pěti, dostanu jedničku, což má být ta velikost toho jednotkového vektoru, který hledáme, a který bude mít tedy stejný směr ale velikost pouze jedna. Takže to bude nějaký vektor u, který tedy má mít stejný směr jako a, ale má mít velikost pouze jedna. Takže ty složky toho vektoru a vydělím velikostí vektoru a, protože když pět vydělím pěti, dostanu 1, což má být ta velikost toho jednotkového vektoru. Takže tedy 3 děleno velikost vektoru a a 4 děleno velikost vektoru a, tady toto. Takže to vlastně tedy bude tři pětiny a čtyři pětiny. To bude ten náš vektor u. Pokud bychom si chtěli ověřit, že tento vektor je opravdu jednotkový, a má stejný směr jako vektor a, tak co se týče směru, stačí se podívat na ty jednotlivé složky. Vidíme, že poměr složek u vektoru a i u vektoru u je stejný, tři ku čtyřem a tři ku čtyřem. Takže to je v pořádku. A ještě bychom chtěli tedy znát velikost toho vektoru u, to umíme. Už jsme si tedy řekli, že to je odmocnina součtu druhých mocnin těch složek. Takže to vlastně bude odmocnina ze tří pětin na druhou, tři pětiny na druhou, to je 9 dvaceti pětin, plus čtyři pětiny na druhou, to je 16 dvaceti pětin. To je tedy odmocnina z dvaceti pěti dvaceti pětin, což je tedy vlastně odmocnina z jedné a tedy jedna. Což je přesně to, co jsme chtěli. Takže se nám podařilo sestrojit tento vektor u, který má stejný směr jako vektor a, ale má velikost jedna.