Hlavní obsah
Analytická geometrie
Řešený příklad: jak zjistit jednotkový vektor s daným směrem
Pojďme si ukázat, co je to jednotkový vektor a jakým způsobem lze zjistit jeho předpis v daném směru. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Dnes se budeme zase bavit o jednotkových
vektorech. Už jsme si řekli, že jednotkový vektor má
nějaký určitý směr, ale co je důležité, je to, že jeho velikost
je rovna jedné. Vezměme si nějaký vektor. Třeba vektor a,
který bude mít složky například, když se posunu ve vodorovném
směru o 3, tak se posunu ve svislém směru o 4, takže bude mít složky 3 a 4. Když si budu chtít spočítat velikost toho
vektoru a, tak velikost toho vektoru je vlastně délka té orientované úsečky, pomocí
které ho můžeme znázornit. Tak si to ukažme ještě graficky. Já to tady tak zhruba načrtnu. Takže říkali jsme tři ve vodorovném směru, 4
ve svislém, tak třeba takto, zhruba. Takže vektor a je vlastně jakoby
součet těchto dvou vektorů, takže ten vektor a bude mít počáteční bod v
počátečním bodě toho prvního vektoru, koncový bod v koncovém bodě toho druhého
vektoru. To už známe. Takže tohle to je náš vektor a a budeme-li
chtít znát jeho velikost, tak vidíme tady na první dobrou, to už známe, že toto je
pravoúhlý trojúhelník. Toto je jeho přepona, odvěsny, a délku
přepony spočítáme jako odmocninu součtu druhých mocnin odvěsen, takže to vlastně
bude tedy, jak jsme řekli, odmocnina součtu druhých mocnin těch dvou složek. Takže bude to odmocnina z tří na druhou
plus čtyři na druhou. Takže to vlastně bude odmocnina z 9 plus
16. To je dvacet pět a tedy pět. Velikost vektoru a je tedy 5. Takže vidíme hned, že to není jednotkový
vektor. No ale co kdybychom chtěli jednotkový
vektor, který má tedy velikost jedna, ale má stejný směr jako ten vektor a, byl by to
tedy vektor, který by vypadal nějak takto. Byla by to prostě jedna pětina toho vektoru a,
protože by měl velikost pouze jedna. Jak bychom to tedy mohli udělat? Už jsem to teď řekla. Vlastně by měl pětinovou velikost oproti
vektoru a, a tedy by stačilo všechno, tedy obě dvě ty složky vektoru a vynásobit
jednou pětinou. Neboli tedy všechno vydělit velikostí
vektoru a. Když pětku vydělím pěti, dostanu jedničku, což má být ta velikost toho
jednotkového vektoru, který hledáme, a který bude mít tedy stejný směr ale velikost
pouze jedna. Takže to bude nějaký vektor u, který tedy má
mít stejný směr jako a, ale má mít velikost pouze jedna. Takže ty složky toho vektoru a vydělím
velikostí vektoru a, protože když pět vydělím pěti, dostanu 1,
což má být ta velikost toho jednotkového vektoru. Takže tedy 3 děleno velikost
vektoru a a 4 děleno velikost vektoru a, tady toto. Takže to vlastně tedy bude tři pětiny a
čtyři pětiny. To bude ten náš vektor u. Pokud bychom si chtěli ověřit, že tento
vektor je opravdu jednotkový, a má stejný směr jako vektor a, tak co se týče směru, stačí se
podívat na ty jednotlivé složky. Vidíme, že poměr složek u vektoru a i u
vektoru u je stejný, tři ku čtyřem a tři ku čtyřem. Takže to je v pořádku. A ještě bychom chtěli tedy znát velikost
toho vektoru u, to umíme. Už jsme si tedy řekli, že to je odmocnina
součtu druhých mocnin těch složek. Takže to vlastně bude odmocnina ze tří
pětin na druhou, tři pětiny na druhou, to je 9 dvaceti pětin, plus
čtyři pětiny na druhou, to je 16 dvaceti pětin. To je tedy odmocnina z dvaceti pěti
dvaceti pětin, což je tedy vlastně odmocnina z jedné a tedy jedna. Což je přesně to, co jsme chtěli. Takže se nám podařilo sestrojit tento
vektor u, který má stejný směr jako vektor a, ale má velikost jedna.