Hlavní obsah
Analytická geometrie
Kurz: Analytická geometrie > Kapitola 2
Lekce 6: Jednotkové vektoryÚvod do jednotkových vektorů
Jako jednotkové vektory označujeme takové, jejichž velikost je rovna 1. Takové vektory nám mohou pomoci ve více směrech. Z dvou vektorů (0;1) a (1;0) můžeme vytvořit libovolný třetí vektor. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Dnes se budeme bavit o
jednotkových vektorech. My už víme, že graficky můžeme vektor
vyjádřit jako šipku, která má nějakou délku a směr. Přičemž
její délka znázorňuje velikost vektoru a její směr znázorňuje směr vektoru. Matematicky si to můžeme vyjádřit
tak, že se podíváme na počáteční a koncový bod a jak daleko mezi nimi
ujdeme ve vodorovném a jak daleko ve svislém směru. Takže jak daleko půjdeme mezi
počátečním a koncovým bodem ve vodorovném směru? To je jedna
část. A jak daleko ve směru svislém? Ale to už určitě znáte. To není nic
nového. Když si představíme, že tady to bude třeba dva a toto bude
třeba tři a toto je nějaký náš vektor v. Vektor v můžeme znázornit
takto graficky. Nebo ho můžeme zapsat jako
uspořádanou dvojici. Buď takto vektor v se rovná takhle v řádku
2 a 3. Anebo to také můžeme zapsat ve
formě sloupcové jako sloupcový vektor 2 a 3. Ale tyto
dva zápisy jsou naprosto ekvivalentní, vyjadřují úplně to
samé. Co kdybychom si ještě ukázali jeden druh zápisu vektoru, který by
vycházel z myšlenky násobení vektoru skalárem a sčítání vektorů. A na to právě použijeme ty
jednotkové vektory. Jednotkový vektor je takový vektor, jehož
velikost je rovna jedné. A existuje speciální typ jednotkových vektorů.
Ve dvojrozměrném prostoru máme takové vektory dva, ve
trojrozměrném prostoru pak máme takové vektory tři. A tyto
speciální vektory jsou takové jednotkové vektory, pomocí kterých
můžeme sestavit jakýkoli vektor. A takové vektory pak nazýváme
vektory kanonické báze. Tyto vektory kanonické báze se
obvykle značí jako e1 a e2 přičemž e1 se bude pohybovat
nebo ten vektor půjde pouze ve vodorovném směru a bude tedy jedna
a nula. Ve svislém směru se nebude pohybovat vůbec. Také ho
můžeme zapsat ve sloupcové formě takto. A e2, ten druhý vektor, bude
úplně naopak. Bude se pohybovat pouze
svislým směrem, vodorovným vůbec a tedy nula a jedna. Já tím teď nechci říct, že
ve dvourozměrném prostor by byly pouze 2 jednotkové vektory. To určitě ne.
To si ještě ukážeme. Ale tyto dva vektory nám stačí bohatě, abychom
jakýkoli vektor ve dvourozměrném prostoru dokázali pomocí nich
vyjádřit. e1 je tedy jedna a nula.
Kdybychom si to představili tady, tak tady to je dva takže to je jedna
a nula, takže to by vypadalo nějak takto ten vektor e1. To by byl
tedy náš vektor e1. A e2 se pohybuje pouze svislým
směrem o jedna. Takže to by vypadal nějak takto.
To by byl náš vektor e2. Tyto dva jednotkové vektory. A já už jsem řekla jednou nebo
možná dokonce dvakrát, že jakýkoli vektor ve dvojrozměrném prostoru
my můžeme vyjádřit pomocí těchto dvou jednotkových vektorů. Tedy
vektorů kanonické báze. A hned si ukážeme, jak už jsme tady
také jednou zmínili, že vektor v je vlastně součtem těchto dvou
vektorů. Dva ve vodorovném směru a 3 ve svislém směru. Jak bychom to
vyjádřili pomocí toho e1 a e2? To e1 a e2 se také pohybují buď
pouze ve vodorovném směru nebo pouze ve svislém. Tak co kdybychom je vynásobili
skalárem a dostali z nich tyto dva barevné vektory. Takže
bychom to mohli zapsat takto. Vektor v je kolikrát se mi tady
tento vektor vejde tady graficky do tohohle. Nebo i matematicky.
Jelikož se posune ve vodorovném směru o 1 a tento se posouvá o
2. No tak se tam vejde dvakrát takže to bude 2 krát e1. Takže ho vlastně vynásobím skalárem
2. Takže ho vlastně jakoby prodloužením a dostanu tento
vektor. Plus a teď máme vektor e2, který jde ve
svislém směru o 1. A tedy máme 3, takže logicky ho vynásobím trojkou.
3 krát e2. A to je vlastně všechno. Použili jsme naši znalost
násobení vektoru skalárem, takže graficky ho jakoby prodlužujeme
popřípadě zkracujeme. Nebo mu také můžeme dát opačný směr, když
použijeme záporné číslo a sčítání vektorů. Takže sčítáme tyto 2
vektory. Jdeme z počátečního bodu toho prvního do koncového bodu
toho druhého. Tak jak už to známe. A vypadá to takto. Takže vektor v
můžeme zapsat takto v řádku ve sloupcové formě. Anebo takto jako
součet jednotkových vektorů. Jak už jsme řekli, vektor
e1 přitom jde pouze v kladném vodorovném směru. Kdybychom
chtěli opačný směr, musí tady být záporné číslo. A vektor e2 pouze ve
svislém směru. A jelikož už jsme si toto ukázali,
můžeme si vyzkoušet nějaké operace s vektory. Kdybychom třeba měli
vektor b, který by byl zadefinován jako minus
jedna krát e1 plus čtyři krát e2 a my bychom
teď chtěli najít součet vektoru v a
vektoru b, jak bychom to udělali? To video si zastavte a zkuste si
to sami. Určitě to zvládnete. Takže budeme postupovat jako vždy u
sčítání vektorů. Sčítáme odpovídající složky. Je to úplně jednoduché. Budeme
tedy sčítat e1. Máme tu 2 plus minus jedna e1, takže tady
bude dva plus minus je minus. 2 minus jedna krát e1.
To je jedna složka. Plus a teď druhá složka, 3
plus 4 krát e2. 3 plus 4 krát a e2. Už to jenom dopočítám a dostanu 2 minus jedna
je 1. Mohla bych napsat jenom e1, ale ať to hezky vidíme, tak tu dám
jedničku. 1 krát e1 plus 3 plus 4 je 7. 7 krát e2 a máme hotovo. Samozřejmě jde pořád o to stejné
sčítání. Jak už jsem řekla. Pořád stejné sčítání, sčítáme
odpovídající složky. Vektor b bychom totiž také mohli zapsat v
řádku jako minus 1 a 4 nebo sloupcovou formou. Minus 1, 4 takto. Takže kdybych chtěla teď to sčítat
v tom řádku, tak vidím že to je 2 plus minus jedna je 1. 3 plus 4 je 7. Takže to by vlastně vypadalo
obdobně. Jedna a 7 anebo ve sloupci 2 plus
minus 1, jedna. 3 plus 4 je 7. Pořád jedno a to
samé 1 a 7. Toto jsou 3 ekvivalentní zápisy.