Úvod do jednotkových vektorů

Dnes se budeme bavit o jednotkových vektorech. My už víme, že graficky můžeme vektor vyjádřit jako šipku, která má nějakou délku a směr. Přičemž její délka znázorňuje velikost vektoru a její směr znázorňuje směr vektoru. Matematicky si to můžeme vyjádřit tak, že se podíváme na počáteční a koncový bod a jak daleko mezi nimi ujdeme ve vodorovném a jak daleko ve svislém směru. Takže jak daleko půjdeme mezi počátečním a koncovým bodem ve vodorovném směru? To je jedna část. A jak daleko ve směru svislém? Ale to už určitě znáte. To není nic nového. Když si představíme, že tady to bude třeba dva a toto bude třeba tři a toto je nějaký náš vektor v. Vektor v můžeme znázornit takto graficky. Nebo ho můžeme zapsat jako uspořádanou dvojici. Buď takto vektor v se rovná takhle v řádku 2 a 3. Anebo to také můžeme zapsat ve formě sloupcové jako sloupcový vektor 2 a 3. Ale tyto dva zápisy jsou naprosto ekvivalentní, vyjadřují úplně to samé. Co kdybychom si ještě ukázali jeden druh zápisu vektoru, který by vycházel z myšlenky násobení vektoru skalárem a sčítání vektorů. A na to právě použijeme ty jednotkové vektory. Jednotkový vektor je takový vektor, jehož velikost je rovna jedné. A existuje speciální typ jednotkových vektorů. Ve dvojrozměrném prostoru máme takové vektory dva, ve trojrozměrném prostoru pak máme takové vektory tři. A tyto speciální vektory jsou takové jednotkové vektory, pomocí kterých můžeme sestavit jakýkoli vektor. A takové vektory pak nazýváme vektory kanonické báze. Tyto vektory kanonické báze se obvykle značí jako e1 a e2 přičemž e1 se bude pohybovat nebo ten vektor půjde pouze ve vodorovném směru a bude tedy jedna a nula. Ve svislém směru se nebude pohybovat vůbec. Také ho můžeme zapsat ve sloupcové formě takto. A e2, ten druhý vektor, bude úplně naopak. Bude se pohybovat pouze svislým směrem, vodorovným vůbec a tedy nula a jedna. Já tím teď nechci říct, že ve dvourozměrném prostor by byly pouze 2 jednotkové vektory. To určitě ne. To si ještě ukážeme. Ale tyto dva vektory nám stačí bohatě, abychom jakýkoli vektor ve dvourozměrném prostoru dokázali pomocí nich vyjádřit. e1 je tedy jedna a nula. Kdybychom si to představili tady, tak tady to je dva takže to je jedna a nula, takže to by vypadalo nějak takto ten vektor e1. To by byl tedy náš vektor e1. A e2 se pohybuje pouze svislým směrem o jedna. Takže to by vypadal nějak takto. To by byl náš vektor e2. Tyto dva jednotkové vektory. A já už jsem řekla jednou nebo možná dokonce dvakrát, že jakýkoli vektor ve dvojrozměrném prostoru my můžeme vyjádřit pomocí těchto dvou jednotkových vektorů. Tedy vektorů kanonické báze. A hned si ukážeme, jak už jsme tady také jednou zmínili, že vektor v je vlastně součtem těchto dvou vektorů. Dva ve vodorovném směru a 3 ve svislém směru. Jak bychom to vyjádřili pomocí toho e1 a e2? To e1 a e2 se také pohybují buď pouze ve vodorovném směru nebo pouze ve svislém. Tak co kdybychom je vynásobili skalárem a dostali z nich tyto dva barevné vektory. Takže bychom to mohli zapsat takto. Vektor v je kolikrát se mi tady tento vektor vejde tady graficky do tohohle. Nebo i matematicky. Jelikož se posune ve vodorovném směru o 1 a tento se posouvá o 2. No tak se tam vejde dvakrát takže to bude 2 krát e1. Takže ho vlastně vynásobím skalárem 2. Takže ho vlastně jakoby prodloužením a dostanu tento vektor. Plus a teď máme vektor e2, který jde ve svislém směru o 1. A tedy máme 3, takže logicky ho vynásobím trojkou. 3 krát e2. A to je vlastně všechno. Použili jsme naši znalost násobení vektoru skalárem, takže graficky ho jakoby prodlužujeme popřípadě zkracujeme. Nebo mu také můžeme dát opačný směr, když použijeme záporné číslo a sčítání vektorů. Takže sčítáme tyto 2 vektory. Jdeme z počátečního bodu toho prvního do koncového bodu toho druhého. Tak jak už to známe. A vypadá to takto. Takže vektor v můžeme zapsat takto v řádku ve sloupcové formě. Anebo takto jako součet jednotkových vektorů. Jak už jsme řekli, vektor e1 přitom jde pouze v kladném vodorovném směru. Kdybychom chtěli opačný směr, musí tady být záporné číslo. A vektor e2 pouze ve svislém směru. A jelikož už jsme si toto ukázali, můžeme si vyzkoušet nějaké operace s vektory. Kdybychom třeba měli vektor b, který by byl zadefinován jako minus jedna krát e1 plus čtyři krát e2 a my bychom teď chtěli najít součet vektoru v a vektoru b, jak bychom to udělali? To video si zastavte a zkuste si to sami. Určitě to zvládnete. Takže budeme postupovat jako vždy u sčítání vektorů. Sčítáme odpovídající složky. Je to úplně jednoduché. Budeme tedy sčítat e1. Máme tu 2 plus minus jedna e1, takže tady bude dva plus minus je minus. 2 minus jedna krát e1. To je jedna složka. Plus a teď druhá složka, 3 plus 4 krát e2. 3 plus 4 krát a e2. Už to jenom dopočítám a dostanu 2 minus jedna je 1. Mohla bych napsat jenom e1, ale ať to hezky vidíme, tak tu dám jedničku. 1 krát e1 plus 3 plus 4 je 7. 7 krát e2 a máme hotovo. Samozřejmě jde pořád o to stejné sčítání. Jak už jsem řekla. Pořád stejné sčítání, sčítáme odpovídající složky. Vektor b bychom totiž také mohli zapsat v řádku jako minus 1 a 4 nebo sloupcovou formou. Minus 1, 4 takto. Takže kdybych chtěla teď to sčítat v tom řádku, tak vidím že to je 2 plus minus jedna je 1. 3 plus 4 je 7. Takže to by vlastně vypadalo obdobně. Jedna a 7 anebo ve sloupci 2 plus minus 1, jedna. 3 plus 4 je 7. Pořád jedno a to samé 1 a 7. Toto jsou 3 ekvivalentní zápisy.