Hlavní obsah
Kurz: Analytická geometrie > Kapitola 2
Lekce 3: Násobení vektoru skaláremNásobení vektoru skalárem
V grafu si ukážeme, jak se změní vektor po vynásobení skalárem.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Dnes se podíváme na násobení vektorů
skalárem. Máme tady násobení vektorů, máme tady nějaký skalár. Ale nebojte, vůbec to nebude
složité. Pojďme si představit nějaký vektor, dejme
tomu vektor u, který bude zadaný pomocí složek x a y jako jedna a dva. Pojďme si ho načrtnout do naší soustavy
souřadnic. Kdykoli když vám nezadají, kde má vektor
začínat, tak je nejjednodušší umístit jeho počáteční bod do počátku soustavy
souřadnic, protože jeho koncový bod bude mít potom tyto souřadnice, ty souřadnice
těch složek x a y, a tedy 1 a 2. Takže tady bude koncový bod toho vektoru u,
když bude mít počátek v počátku a bude vypadat nějak takto. To je náš vektor u. Vektor můžu tedy libovolně
posouvat, když zachovám jeho velikost a směr, může začínat tady, tady, tady, tady, kdekoli. Ale jak už jsem řekla, nejjednodušší je umístit ten jeho
počáteční bod do počátku soustavy souřadnic. Co je ten skalár nebo nějaká
skalární veličina? My už víme, že vektor má velikost a směr a
skalární veličina, skalár, má pouze velikost. Jsou to tedy vlastně čísla, která se učíte
už od základní školy. Skalár je jakékoli reálné číslo, má pouze velikost. Takže můžeme třeba udělat to, že vynásobíme
ten vektor číslem 3. Co se stane, když budeme mít tři krát
vektor u. Jak budeme postupovat? Když násobíme vektor
skalárem, tak jednoduše a pouze uděláme to, že každou z jeho složek vynásobíme tím
skalárem. Takže to bude vypadat takto. Tři krát jedna
a tři krát dva. A dostaneme tedy 3 a 6. Pojďme si to tady načrtnout. Ať vidíme, co se nám stalo. Takže zase dáme počátek do počátku
soustavy souřadnic a to bude končit v bodě 3 a 6 ten vektor, tady, a teď si ho načrtnu, tohle to
je tedy vektor 3 krát u. A vy teď asi vidíte, co se nám vlastně stalo. Směr vektoru se vůbec nezměnil, ale změnila
se jeho velikost, ta se nám třikrát zvětšila, ten vektor se jakoby prodloužil. Vidíme, že kdybychom tady ten modrý vzali a ještě
ho jednou a ještě jednou tady posunuli, tady tímto směrem, po té stejné přímce, tak dostaneme ten
vektor třikrát u. Takže vlastně se třikrát zvětšila jeho
velikost, směr zůstal stejný, vlastně jsme ho v uvozovkách prodloužili. Ale co by se stalo, kdybychom ten vektor vynásobili
záporným číslem, nějakým záporným skalárem, co by se stalo potom? Postup by byl úplně obdobný, takže by to
bylo vlastně minus dva krát jedna a minus dva krát dva. A dostali bychom minus dva a minus čtyři. Když si to zaznačíme zase do grafu, tak počátek
bude zase v počátku. Nebudeme na tom nic měnit. A koncový bod
bude minus dva a minus čtyři. To je tady. Načrtnu si to. Teď vidíme, že se
nám to změnilo trošku víc než tady. Nejenom že se nám ten vektor prodloužil,
má tedy dvakrát větší velikost než vektor u, ještě tady napíšu, že to je minus dva krát u. Takže nejenom že je v uvozovkách delší, má
větší velikost, ale došlo i ke změně orientace toho vektoru na opačnou. On stále v uvozovkách je na stejné přímce,
ale je opačně orientovaný. Takže co nám z toho celého tady vyplývá. Když násobím vektor skalárem, tak se
vlastně jedná v uvozovkách o nějaké jeho prodloužení nebo zkrácení, jedná se o změnu
jeho velikosti, přičemž směr buď zůstane stejný, nebo proběhne změna orientace na
opačnou a to když násobím záporným číslem.