If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Velikost vektoru z jeho počátečního a koncového bodu

Na příkladu si ukážeme, jak se dá zjistit velikost vektoru, pokud máme zadaný jeho počáteční a koncový bod.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Máme tady vektor u a já bych se ještě dnes chtěla znovu věnovat velikosti vektorů. Pokud víte, jak velikost tohoto vektoru spočítat, tak si to video zastavte a zkuste si to sami. A my teď na to půjdeme společně. Máme tady počáteční a koncový bod toho vektoru. Počáteční bod je bod minus 7 a 3. A koncový bod je bod 2 a minus jedna. A když chceme spočítat velikost vektoru, tak vlastně chceme spočítat délku téhle té orientované úsečky. Ale jak spočítáme délku takové orientované úsečky? Jednoduše použijeme výpočet pro vzdálenost dvou bodů, což je vlastně jenom použití Pythagorovy věty. Pojďme se teď podívat, proč Pythagorovy věty. Já tady něco dokreslím. Teď jsem nám tady donačrtla pravoúhlý trojúhelník. Pravoúhlý trojúhelník, Pythagorova věta, to vám určitě něco říká. Délku přepony toho pravoúhlého trojúhelníku spočítáme jednoduše tak, že odmocníme součet druhých mocnin délek těch odvěsen. To je jednoduché. A délku těch odvěsen jednoduše spočítáme. Je to vlastně naše změna x a změna y, když jdeme z jednoho bodu do druhého. Tady je to tedy změna x. A tady je to změna y. Jak se posunu podél osy y a podél osy x, když jdu z jednoho bodu do druhého. Můžeme si to rovnou spočítat. Změna x bude, máme-li zadané i body, tak to je jednoduše koncová x-ová souřadnice minus počáteční. A tedy dva minus minus 7, což je 9. Jednoduše se to dá i spočítat, 2, 4, 6, 8, 9. A změna y, obdobně, koncová y-ová souřadnice minus počáteční, minus jedna minus tři, minus jedna minus tři, což je minus 4. Opravdu vidím, že jdu o 4 u y, ale do minusu. Takže minus 4. Teď už mám délky těch odvěsen a můžu jednoduše spočítat velikost toho vektoru. Zaznačíme takto, velikost vektoru u bude odmocnina z, jak už jsme řekli, změny x na druhou plus změny y na druhou. Nelekněte se, že tady máme záporné číslo, délka strany trojúhelníku určitě nemůže být záporné číslo. Ale vůbec nám to tu nevadí, protože to budeme umocňovat na druhou. Takže stejně dostaneme kladné číslo. Ale můžete si to představit jako absolutní hodnotu, když počítáme velikost vektoru. Teď už to jenom dosadíme. Takže to tedy bude odmocnina z devíti na druhou, což je osmdesát jedna, plus změna y na druhou, minus čtyři na druhou, to je 16. Takže velikost našeho vektoru u bude odmocnina z devadesáti sedmi. To už dál nijak neupravím. Ale vidím, že to je kousek k odmocnině ze sta, takže ta velikost vektoru u se bude pohybovat někde těsně pod desítkou, bude to o něco menší než 10. Teď jsme si ukázali jak spočítat velikost vektoru, když máme počáteční a koncový bod, ale vektor můžeme mít zadaný i pomocí jeho složek, pomocí x-ové a y-ové složky. Jak to pak bude vypadat? Jednoduše vám to tady ukážu znovu na obrázku. Ten vektor u můžeme totiž vnímat jako součet dvou vektorů, jednoho vektoru, který vede rovnoběžně s osou x, a jednoho vektoru, který vede rovnoběžně s osou y, těchto dvou vektorů. A my už vlastně víme, jakou velikost ty dva vektory mají. Protože jsme si to tady spočítali, je to vlastně naše změna x a změna y. Takže ta x-ová složka toho vektoru u bude 9 a ta y-ová složka bude minus 4. Tady už na znaménku opravdu záleží, takže nezaměňovat. 9 a minus čtyři. Teď vás možná zarazí, že vlastně z tohohle nepoznám, kde ten vektor začíná a kde končí. Ono to je totiž vlastně úplně jedno. U vektoru nás zajímá jen velikost a směr. My ho můžeme libovolně posouvat, stačí když držíme tu velikost a směr. Ale pak je jedno, v jakém bodě ten vektor začíná a kde končí. Z tohoto jednoduše spočítáme také velikost vektoru a to tak, že vlastně víme, že tohle to je naše změna x a změna y. Takže to jednoduše dosadím úplně stejně, umocním tohle na druhou, umocním tohle na druhou, sečtu to a pak to odmocním, takže zase dostanu tady tento případ. Devět na druhou je osmdesát jedna plus minus čtyři na druhou, to je 16, odmocním a dostanu odmocninu z devadesáti sedmi, úplně stejné. Můžeme si ukázat, jak to funguje s tím posunováním toho vektoru. Já ho opravdu můžu libovolně jakkoli posouvat. Můžu si třeba představit, že bude začínat místo v tomto bodě třeba v tomto bodě, v počátku soustavy souřadnic, a pak si tady představím, že jeho x-ová složka je 9, podél osy x se posunu o 9, a jeho y-ová složka je minus 4 a podél osy y jdu do minus čtyřky, tady. Takže kdyby ten vektor začínal v tomto bodě, tak bude končit v tomto bodě a bude vypadat nějak takto. Ale pořád to bude vektor u s x-ovou a y-ovou složkou 9 a minus 4.