Hlavní obsah
Kurz: Analytická geometrie > Kapitola 2
Lekce 7: Velikost a směr vektoruSměr vektorů z jejich předpisu: 3. a 4. kvadrant
V tomto videu budeme hledat směr vektoru ve třetím kvadrantu a vektoru ve čtvrtém kvadrantu.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme tady opět načrtnuté nějaké vektory
a rádi bychom spočítali tyto úhly theta, tedy úhly, které svírá ta orientovaná
úsečka znázorňující ten náš vektor s kladnou poloosou x, a chceme tedy ty úhly v
kladném směru, přičemž počátek toho vektoru, jeho počáteční bod, je umístěn do počátku
soustavy souřadnic. Máme tady vektor a, který můžeme zapsat
klasicky pomocí x-ové a y-ové složky jako minus dva a minus čtyři. A pokud bychom chtěli použít zápis pomocí
jednotkových vektorů e1 a e2, pomocí kterých můžeme vyjádřit jakýkoli vektor ve
dvourozměrném prostoru, přičemž e1 nás posouvá pouze vodorovným směrem a e2 pouze
svislým, tak bychom to mohli napsat jako součet těchto dvou vektorů minus dvakrát
e1 minus 4 krát e2, takže toto je vektor a a my chceme velikost toho úhlu theta
ve stupních. Už v minulém videu jsme si to vysvětlovali,
takže trošku poskočím a řeknu, že víme, že tangens té thety bude roven y-ová složka
vektoru děleno x-ová a tedy minus čtyři děleno minus dva. Pokud vám to nic neříká, můžu ještě dodat,
že to vychází přímo z definice goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice. A pokud vám ani tohle nic neříká, tak
koukněte na to minulé video. Takže, můžete mi věřit, je tomu opravdu tak. Tangens theta je roven y-ová složka děleno
x-ová složka a tedy tangens thety bude roven 2 a chtěli bychom vlastně říct, že theta bude
rovna inverzní tangens, tedy arkus tangens, těch dvou, ale já tady dám takový malý
otazníček a možná už trošku tušíte proč. A když si vezmu totiž kalkulačku a
dám tam 2 a budu chtít inverzní tangens, tak dostanu zhruba 63 celé 4 desetiny
stupně, takže 63,4. No ale teď se tady podíváme, my se
nacházíme ve třetím kvadrantu, tedy něco mezi sto osmdesáti a 270, rozhodně ne
šedesát tři. Takže co se nám to tady podařilo
vypočítat? Podařil se nám vypočítat úhel, který máme
tady, kdyby toto jsme prodloužili o nějakou přímku, která pokračuje i tímto směrem. Tak bychom vlastně spočítali tento úhel, 63,4
a je to proto, že arkus tangens nám vždy dá výsledek mezi
minus devadesáti a devadesáti, tedy buď ze čtvrtého nebo z prvního kvadrantu. Ale my jsme ve kvadrantu třetím. Takže pozor, když počítáte arcus tangens na
kalkulačce, musíte u toho trošku přemýšlet, a musíte vědět, ve kterém kvadrantu se
momentálně nacházíte. Když chceme celý tento úhel, nejenom tento,
tak vlastně musíme ještě přičíst sto osmdesát stupňů. Takže my tady přičteme sto osmdesát stupňů
a dostaneme dvě stě čtyřicet tři celé čtyři desetiny stupně. A to už je správně. Řekli jsme, že to bude něco mezi sto
osmdesáti a dvě stě sedmdesáti, takže to už nám sedí, výborně. Pojďme na ten druhý vektor. Vidíme, že vektor máme ve čtvrtém kvadrantu,
chceme ten úhel v kladném směru. Pojďme počítat. Přeskočím tyhle ty první dva kroky,
už to počítáme poněkolikáté. Takže theta bude rovna arkus tangens y-ové složky
ku x-ové. Takže minus šest děleno čtyřmi, minus 6
děleno čtyřmi. Opět to tady bude s takovým malým
otazníčkem, protože jdu počítat, zase, mám tady minus šest děleno čtyřmi. A chci z toho inverzní tangens a dostanu
minus padesát šest celých tři, přibližně, minus padesát šest celých tři desetiny stupně. Ale to asi trošku taky úplně nesedí, že,
protože jsme dostali záporný úhel, nebo úhel v záporném směru, a my jsme říkali, že to
chceme v kladném. Takže co se nám tady vlastně podařilo
vypočítat? Minus 56 celých 3. To je ve čtvrtém kvadrantu. Takže my jsme vlastně spočítali tento úhel,
tento úhel jsme spočítali, a abychom dostali tento úhel, v kladném směru a ne v záporném, tak to známe, to jednoduché, musíme se posunout úplně kolem dokola, tedy
přičíst 360 stupňů. Takže to bude minus padesát šest celých tři plus tři sta šedesát. A to bude přibližně, stále přibližně, 360
minus padesát šest je 304, minus nula celá tři je 303,7 a to už je správný výsledek. Je to úhel v kladném směru, a opravdu se
nachází ve čtvrtém kvadrantu mezi 270 a 360. A máme hotovo.