Směr vektorů z jejich předpisu: 1. a 2. kvadrant

Máme tady dva vektory, vektor u a vektor w. Jejich počáteční body jsme umístili do počátku soustavy souřadnic a my bychom teď rádi spočítali úhly, které ty orientované úsečky, kterými jsme ty vektory znázornili svírají s kladnou poloosou x. Tedy tyto dva úhly theta. Teď si to video zastavte a zkuste si to spočítat sami. Budeme počítat velikost thety ve stupních. My se teď na to podíváme společně. Máme tady ještě pro připomenutí z minulých videí, jak se dá vyjádřit vektor. Připomenu. Často uvádíme e1 a e2, že jsou to 2 jednotkové vektory, pomocí kterých můžeme vyjádřit všechny vektory ve dvojrozměrném prostoru, přičemž e1 směřuje pouze vodorovným směrem, 1 a 0, a e2 pouze svislým, 0 a 1. Takže u, vektor u můžeme vyjádřit klasicky pomocí x-ové a y-ové složky jako 3 a 4 anebo také jako součet vektorů e1 a e2, tedy třikrát e1 plus 4 krát e2. Obdobně je to u w. Buď minus 5 a 6 nebo minus pět krát e1 plus šest krát e2. Pojďme na tento úhel a na tu thetu, kterou chceme spočítat. Jak bychom mohli postupovat? Opět a zase nám pomůže představit si pravoúhlý trojúhelník. Jak už jsme si představovali, když jsme počítali velikost toho vektoru. Tentokrát to budeme ale dělat zase trošku jinak. Takže tady si zase představíme pravoúhlý trojúhelník, to není žádná novinka. Pravoúhlý trojúhelník, který bude mít délky odvěsen tři a čtyři. A my už dávno umíme, když známe délky stran pravoúhlého trojúhelníku, spočítat úhly v tom trojúhelníku. Počítáme thetu a máme protilehlou stranu a přilehlou stranu. Jaká goniometrická funkce používá protilehlou a přilehlou stranu? Správně, tangens. Takže tangens thety bude tedy roven protilehlá ku přilehlé, 4 děleno třemi, čtyři třetiny. A my chceme thetu, takže abychom tady z toho dostali jenom thetu, tak to musí být inverzní tangens neboli arkus tangens těch čtyř třetin. Na to potřebujeme kalkulačku, to není žádná tabulková hodnota, takže budeme počítat přibližně. Takže, máme čtyři děleno třemi a chceme inverzní tangens. A je to 53 celých 1 desetina stupně, zaokrouhlíme to, takže padesát tři celé jedna desetina stupně. Podíváme se na ten úhel. Ano, je to trošku víc než 45 stupňů, takže by to mohlo krásně odpovídat. Vás teď možná během toho výpočtu napadla jedna taková věc. No ale nebude to vždycky tak, že velikost té thety bude arkus tangens té y-ové složky děleno x-ové složky. Máte naprostou pravdu, bude to tak vždycky. Tangens té thety bude vždy y-ová složka ku té x-ové. Celé to vychází vlastně z definice goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice. Když si ji tady představím, jednotková kružnice, tak my víme, že když máme nějakou přímku, která protíná tu jednotkovou kružnici, tak ten tangens tohoto úhlu bude y-ová souřadnice tohoto bodu ku x-ové souřadnici tohoto bodu, kde ta přímka protíná tu jednotkovou kružnici. Kdybychom si jednotkovou kružnici představili tady, bude asi hodně malinká, ale můžeme ji zkusit nakreslit. Představujte si, že to je kružnice. Tak tady budeme mít x-ové a y-ové souřadnice a ty budou ve stejném poměru jako tady. Takže bychom zase dostali stejný výsledek. Ještě jednou. Tangens toho úhlu, který svírá ta orientovaná úsečka znázorňující ten náš vektor s kladnou poloosou x bude vždycky y-ová složka děleno ta x-ová složka toho vektoru. Když už známe toto, tak jednoduše spočítáme tady naši thetu u toho vektoru w. Takže tangens té thety bude roven, řekli jsme y-ová složka, což je 6, děleno x-ová složka, minus 5. Takže theta by tedy měla být rovna arkus tangens 6 děleno minus 5. Tak ale pozor na jednu věc, možná pokud jste to počítali sami, tak jste taky našli nějaký zádrhel. Pojďme si spočítat toto na kalkulačce. Tak, tohle už nepotřebujeme, tak, šup, 6 děleno minus pěti, minus jedna celá 2. Chceme inverzní tangens, arkus tangens. Dostáváme minus 50 celých dvě desetiny stupně, minus 50 celých dvě desetiny stupně. Ale to je trošku zvláštní ne? Tady vidíme, že ta theta je určitě přes 90 stupňů, tady je 90 a ještě kousek. Rozhodně to není záporné. Takže co se vlastně stalo? Kdybychom si představili, že ta přímka pokračuje tady dál, já to tak jenom načrtnu, tak my jsme vlastně spočítali ne tento úhel, ale tento úhel, tady. Já tu ještě nakreslím šipečku. Tady tento úhel. Proč? Protože když počítáme arkus tangens, dostaneme vždy výsledek pohybující se mezi minus devadesáti a plus devadesáti. Tedy buď čtvrtý nebo první kvadrant. A my se nacházíme v kvadrantu druhém. Co tedy musíme udělat abychom dostali tento úhel? Musíme se odsud posunout sem, já to tu ještě načrtnu. Odsud se musíme posunout sem. Musíme se tedy posunout o sto osmdesát stupňů, že ano. Vidíme tady přímku, sto osmdesát stupňů. Takže musíme provést minus padesát celých dvě desetiny stupně plus sto osmdesát stupňů, to je rovno, pozor, stále přibližně, protože tam máme přibližnou hodnotu, minus 50 plus 180, to by bylo 130 minus 0,2. Sto dvacet devět celých 8 stupňů, 129,8 stupně. To by mohlo odpovídat, protože tady theta je devadesát plus něco, takže to by mohlo už opravdu být správně. Šlo by to ještě udělat jedním způsobem, že bychom si zase a opět představili pravoúhlý trojúhelník, tentokrát tady. Tady by to bylo 6, to víme. A tady by to nebylo minus pět ale pět, absolutní hodnota, délka strany. Takže kdybychom teď chtěli počítat velikost tohoto úhlu, tedy nějakého úhlu x v tom trojúhelníku, tak máme zase protilehlou ku přilehlé. Takže tangens z toho x by byl roven šest pětin, 6 děleno pěti. 1,2, inverzní tangens. Takže to by nám vyšlo zhruba 50 celých 2, 50 celých dvě desetiny stupně. My jsme spočítali úhel x a vidíme, že x a theta jsou vlastně tady na té přímce, že to jsou vedlejší úhly. Takže abychom dopočítali thetu, vedlejší úhly dohromady dávají 180, tak nám stačí spočítat sto osmdesát minus padesát celých 2 stupňů, samozřejmě. Počítáme přibližně, protože máme to 50,2 přibližně. A to je, jak už jsme to jednou tady počítali, to je vlastně to samé. Sto dvacet devět celých osm desetin stupně. Takže i tímto způsobem bychom došli ke stejnému výsledku. A máme hotovo.