Složky vektoru z jeho velikosti a směru

Máme tady dva příklady, kdy máme zadanou velikost vektoru a úhel, který svírá orientovaná úsečka znázorňující daný vektor s kladnou poloosou x. A rádi bychom dopočítali x-ové a y-ové složky těchto dvou vektorů. Video si zastavte a zkuste si to sami, jako vždycky. My na to teď půjdeme společně a uvidíte, že to není nic těžkého. Že nám stačí obyčejné goniometrické funkce. Začneme tady vlevo. Vektor má velikost 4, úhel 50 stupňů. Máme tady vodorovnou x-ovou složku a složku svislou, složku y-ovou, takže to můžeme vidět i jako dva vektory, které když sečteme, dostaneme náš daný vektor. My vidíme, že se nám tady utvořil pravoúhlý trojúhelník a my chceme dopočítat vlastně jeho strany. A na to nám jeden úhel a přepona bohatě postačí. Takže když budeme chtít spočítat x, tak jakou goniometrickou funkci pro to použijeme? Přilehlá ku přeponě. To je kosinus. Výborně. Takže to bude, kosinus padesáti stupňů bude roven přilehlá ku přeponě, můžeme to určitě nazvat x, a tedy x děleno čtyřmi. A abychom dostali jenom x, tak to čtyřmi vynásobíme a dostaneme čtyři krát kosinus padesáti stupňů je roven x. Obdobně to bude s y-ovou složkou, tedy y. Protilehlá ku přeponě, to je sinus, to určitě víte. Takže sinus padesáti stupňů je roven y děleno čtyřmi, protilehlá ku přeponě, to je y, to je čtyřka, je to trošku nerozpoznatelné. Vynásobím to čtyřmi a dostanu, že čtyři krát sinus padesáti stupňů je roven y. A máme v podstatě hotovo. Kdybychom neměli kalkulačku, můžeme jednoduše zapsat, že ta x-ová a y-ová složka toho vektoru je 4 krát kosinus padesáti stupňů a 4 krát sinus padesáti stupňů. My ale samozřejmě kalkulačku máme, tak si to můžeme dopočítat. Takže padesát stupňů, chceme kosinus, vynásobíme čtyřmi a dostaneme zhruba 2,57. Dvě celé padesát sedm, tady udělám středník, normálně by tam byla čárka, ale ať se v tom vyznáme trošku, v těch číslech, a čtyři krát sinus padesáti stupňů, padesát sinus krát čtyři. To je zhruba 3,06. Tři celé nula šest. Kdybychom to chtěli mít dopočítané. Teď se na to podíváme a možná vás napadne: dobře, takže pro x jsme vzali kosinus toho úhlu a vynásobili jsme ho velikostí toho vektoru. Pro y jsme vzali sinus toho úhlu a vynásobili jsme to velikostí toho vektoru. Je to tak vždycky? Ano, je to tak vždycky. Vychází to totiž z jednotkové kružnice. Když si ji tady načrtnu, velmi zhruba, když máme jednotkovou kružnici a tady nám ji protíná ta orientovaná úsečka, tak tento bod, kde ta úsečka to protíná, tu jednotkovou kružnici, by měl souřadnice x-ové kosinus toho úhlu a y-ové souřadnice sinus toho úhlu. Nebo řeknu-li to ještě jinak. Kdybychom měli jednotkový vektor, jehož koncový bod by ležel na té jednotkové kružnici, tak by měl x-ovou a y-ovou složku kosinus toho úhlu, tedy kosinus padesáti stupňů, a sinus padesáti stupňů. Jenže my nemáme jednotkový vektor, my máme vektor o velikosti 4, takže to ještě musíme vynásobit čtyřmi. Fajn. Pojďme na ten druhý příklad. Tady máme vektor ve druhém kvadrantu, úhel je sto třicet pět stupňů, takže vidíme, že x-ová složka bude záporná, y-ová bude kladná. Tak pojďme to spočítat, přesně tak jak jsme si řekli, že to jde udělat. X-ová složka bude velikost vektoru, tedy 10, Krát kosinus toho úhlu, takže kosinus sto třiceti pěti stupňů. A y-ová složka bude opět velikost vektoru, tedy 10, ale sinus, sinus sto třiceti pěti stupňů. Takže takhle by to mělo být podle toho, co jsme si řekli. Ještě si spočítáme, kolik to je. Sto třicet pět kosinus krát deset je tedy minus sedm celá nula sedm, zhruba, minus 7,07. Zase si tu udělám středník, ať se v tom vyznáme. A teď desetkrát sinus sto třiceti pěti stupňů, 135 stupňů sinus. A vy vidíte, že máme 7,07 v kladném, samozřejmě zhruba, to mi chybí dopsat i tady, když jsme to zaokrouhlili, ano? To není přesný výsledek, žádná tabulková hodnota. Když se na to tady podíváme, kdybychom si udělali pomyslné kolmice na ty osy x a y, tak vidíme, že to tak jako nějak zhruba odpovídá. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Někde tady, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ano, někde tady, opravdu. Je dobré si to vždycky zkontrolovat, jestli jsme nespočítali nějakou hloupost. Takže to by mělo celkem sedět. A zase a opět to vychází z té jednotkové kružnice. Ještě to tady jednou načrtnu. Máme jednotkovou kružnici. Souřadnice tohoto bodu x-ová by byla kosinus sto třiceti pěti stupňů, y-ová sinus sto třiceti pěti stupňů, to vychází z definice jednotkové kružnice. Pokud bychom měli jednotkový vektor, tak jeho x-ová a y-ová složka bude tedy kosinus 135 stupňů a sinus sto třiceti pěti stupňů. My nemáme jednotkový vektor, máme vektor o velikosti 10, takže to musíme ještě vynásobit deseti. Takže přesně takhle. Kdybyste chtěli ještě použít ten náš původní systém, tak si tady zase můžeme představit nějaký pravoúhlý trojúhelník, který má x-ovou a y-ovou složku. Takovýmto způsobem někde, víceméně, je to tak jako hodně nahrubo. A my víme, že toto jsou vedlejší úhly, které dohromady dávají 180 stupňů, takže tento úhel vevnitř má 45 stupňů, to víme, takže bychom počítali jak? Opět x-ová složka je přilehlá ku přeponě, takže kosinus, kosinus čtyřiceti pěti stupňů by byl roven x, takže x děleno deseti krát 10, 10 krát kosinus 45 stupňů je rovno x, y by bylo úplně obdobně, akorát by to byl sinus, protilehlá ku přeponě, sinus 45 stupňů by byl roven, to je y, y děleno 10ti, 10 krát sinus 45 stupňů by byl roven y. Pokud si pamatujete tabulkové hodnoty kosinu a sinu, tak víte, že kosinus 45 stupňů i sinus 45 stupňů je odmocnina ze dvou děleno dvěma. Takže kdybychom měli odmocninu ze dvou děleno dvěma krát deset, tak dostaneme pět odmocnin ze dvou, jednoduše. V obou případech, to jenom kdybychom si to chtěli dopočítat matematicky. A kdo ještě si víc pamatuje, tak ví, samozřejmě, že kosinus sto třiceti pěti stupňů je to samé jako kosinus čtyřiceti pěti stupňů. Obdobně u sinu, takže by to mělo opravdu sedět. A kdybyste si chtěli být opravdu jó jistí, tak si můžete spočítat, kolik je pět odmocnin ze dvou. Pět krát odmocnina ze dvou je opravdu 7,07. Jenom nezapomínejme na to, že tady nám to vyšlo v plusu, protože jsme vlastně počítali délku strany. A my vidíme, že jdeme do záporu, do minusu. Takže tady bude potom minus, kdybychom chtěli zapsat složky toho vektoru. Tak. A máme hotovo.