Hlavní obsah
Analytická geometrie
Unit 2: Lesson 8
Složky vektorůPřehled vektorů zadaných podle velikosti a směru
Na příkladech si zopakuj vektory zadané pomocí velikosti a směru.
| Velikost vektoru left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis | ||
| \mid, space, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, space, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root | ||
| Směrový úhel vektoru left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis | ||
| theta, equals, a, r, c, t, g, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis | ||
| Složky zapsané pomocí velikosti \mid, space, u, with, vector, on top, space, \mid a směrového úhlu theta | ||
| left parenthesis, \mid, space, u, with, vector, on top, space, \mid, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, comma, \mid, space, u, with, vector, on top, space, \mid, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis |
Co jsou velikost a směrový úhel vektoru?
Vektory jsme zvyklí zapisovat pomocí jejich složek, například left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis. Takto zapsaný vektor pak můžeme znázornit v soustavě souřadnic jako orientovanou úsečku začínající v počátku soustavy souřadnic a končící v bodě, jehož souřadnice jsou stejné jako složky daného vektoru.
Při pohledu na obrázek vidíme, že existuje ještě jiný způsob, jak jednoznačně popsat vektor — pomocí jeho start color #11accd, start text, v, e, l, i, k, o, s, t, i, end text, end color #11accd a start color #1fab54, start text, s, m, e, with, \v, on top, r, o, v, e, with, \', on top, h, o, space, u, with, \', on top, h, l, u, end text, end color #1fab54:
start color #11accd, start text, V, e, l, i, k, o, s, t, end text, end color #11accd vektoru udává délku jemu příslušné orientované úsečky, zatímco start color #1fab54, start text, s, m, e, with, \v, on top, r, o, v, y, with, \', on top, space, u, with, \', on top, h, e, l, end text, end color #1fab54 vektoru je orientovaný úhel, který svírá kladná x-ová poloosa s daným vektorem (jemu příslušnou úsečkou).
Velikost vektoru v, with, vector, on top se obvykle značí jako vertical bar, v, with, vector, on top, vertical bar.
Chceš se dozvědět více o velikosti vektorů? Zkus si pustit tohle video.
Zajímá tě směrový úhel vektorů? Mrkni se na naše video.
Zajímá tě směrový úhel vektorů? Mrkni se na naše video.
Sada příkladů 1: Určení velikosti vektoru pomocí jeho složek
Velikost vektoru je rovna druhé odmocnině ze součtu druhých mocnin složek daného vektoru (jde o přímý důsledek Pythagorovy věty):
Například velikost vektoru left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis je square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.
Sada příkladů 2: Určení směrového úhlu vektoru pomocí jeho složek
Směrový úhel vektoru určíme tak, že jeho druhou složku vydělíme první složkou a poté spočítáme arkus tangens tohoto podílu, načež ještě musíme provést dodatečnou úpravu výsledku podle kvadrantu (viz začátek tohoto článku).
Tento vztah platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek soustavy souřadnic, koncový bod daného vektoru začínajícího v počátku a první složka tohoto vektoru zakreslená na ose x.
Příklad 1: start text, I, point, end text kvadrant - reálná část je kladná
Spočítejme směrový úhel vektoru left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis:
Příklad 2: start text, I, V, point, end text kvadrant
Spočítejme směrový úhel vektoru left parenthesis, 3, comma, minus, 4, right parenthesis:
Tento úhel sice patří do správného kvadrantu, ale jeho velikost nám vyšla záporná. Protože pro směrový úhel vektoru se běžně používají úhly s kladným počtem stupňů, přičteme k našemu výsledku ještě 360, degrees:
Příklad 3: start text, I, I, point, end text kvadrant
Zkusme určit směrový úhel vektoru left parenthesis, minus, 3, comma, 4, right parenthesis. Nejprve si všimněme, že vektor left parenthesis, minus, 3, comma, 4, right parenthesis míří do start text, I, I, point, end text kvadrantu.
Pokud bychom to počítali pomocí arkus tangens, vyšlo by nám minus, 53, degrees, tedy hodnota ve start text, I, V, point, end text kvadrantu a ne ve start text, I, I, point, end text kvadrantu. Zde čtenáře upozorňujeme, že se lze setkat s ne vždy spolehlivou taktikou, při které se k výsledku přičte úhel 180, degrees, čímž dostaneme příslušný vedlejší úhel ve start text, I, I, point, end text kvadrantu:
Chceš si zkusit více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.
Sada příkladů 3: Určení složek vektoru pomocí jeho velikosti a směrového úhlu
Známe-li velikost a směrový úhel nějakého vektoru, pak jeho složky určíme tak, že velikost postupně zvlášť vynásobíme kosinem a sinem směrového úhlu.
Tento vztah platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek soustavy souřadnic, koncový bod daného vektoru začínajícího v počátku a první složka tohoto vektoru zakreslená na ose x.
Například složky vektoru s velikostí start color #11accd, 2, end color #11accd a směrovým úhlem start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54 vypadají následovně:
Chceš si zkusit více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.