Hlavní obsah

Kurz: Analytická geometrie > Kapitola 2

Lekce 8: Složky vektorů

Přehled vektorů zadaných podle velikosti a směru

Na příkladech si zopakuj vektory zadané pomocí velikosti a směru.


Velikost vektoru $(a, b)$ ‍
$∣ (a, b) ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
Směrový úhel vektoru $(a, b)$ ‍
$θ = arctg (\frac{b}{a})$ ‍
Složky zapsané pomocí velikosti $∣ \vec{u} ∣$ ‍ a směrového úhlu $θ$ ‍
$(∣ \vec{u} ∣ \cos (θ), ∣ \vec{u} ∣ \sin (θ))$ ‍

Co jsou velikost a směrový úhel vektoru?

Vektory jsme zvyklí zapisovat pomocí jejich složek, například

(3, 4)

. Takto zapsaný vektor pak můžeme znázornit v soustavě souřadnic jako orientovanou úsečku začínající v počátku soustavy souřadnic a končící v bodě, jehož souřadnice jsou stejné jako složky daného vektoru.

Při pohledu na obrázek vidíme, že existuje ještě jiný způsob, jak jednoznačně popsat vektor — pomocí jeho

velikosti

směrového úhlu

Velikost

vektoru udává délku jemu příslušné orientované úsečky, zatímco

směrový úhel

vektoru je orientovaný úhel, který svírá kladná

x

-ová poloosa s daným vektorem (jemu příslušnou úsečkou).

Velikost vektoru

\vec{v}

se obvykle značí jako

| \vec{v} |

Chceš se dozvědět více o velikosti vektorů? Zkus si pustit tohle video.
Zajímá tě směrový úhel vektorů? Mrkni se na naše video.

Sada příkladů 1: Určení velikosti vektoru pomocí jeho složek

Velikost vektoru je rovna druhé odmocnině ze součtu druhých mocnin složek daného vektoru (jde o přímý důsledek Pythagorovy věty):

| (a, b) | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Například velikost vektoru

(3, 4)

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Příklad 1.1

\vec{u} = (1, 7)

| \vec{u} | =

Výsledek můžeš zadat přesně jako druhou odmocninu z nějakého čísla nebo ho můžeš uvést jako desetinné číslo zaokrouhlené na setiny.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 2: Určení směrového úhlu vektoru pomocí jeho složek

Směrový úhel vektoru určíme tak, že jeho druhou složku vydělíme první složkou a poté spočítáme arkus tangens tohoto podílu, načež ještě musíme provést dodatečnou úpravu výsledku podle kvadrantu (viz začátek tohoto článku).

θ = arctg (\frac{b}{a}) + dodatečná úprava

Tento vztah platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek soustavy souřadnic, koncový bod daného vektoru začínajícího v počátku a první složka tohoto vektoru zakreslená na ose

x

Příklad 1: $I.$ ‍ kvadrant - reálná část je kladná

Spočítejme směrový úhel vektoru

(3, 4)

arctg (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Příklad 2: $IV.$ ‍ kvadrant

Spočítejme směrový úhel vektoru

(3, - 4)

arctg (\frac{- 4}{3}) \approx - 53^{\circ}

Tento úhel sice patří do správného kvadrantu, ale jeho velikost nám vyšla záporná. Protože pro směrový úhel vektoru se běžně používají úhly s kladným počtem stupňů, přičteme k našemu výsledku ještě

360^{\circ}

- 53^{\circ} + 360^{\circ} = 307^{\circ}

Příklad 3: $II.$ ‍ kvadrant

Zkusme určit směrový úhel vektoru

(- 3, 4)

. Nejprve si všimněme, že vektor

(- 3, 4)

míří do

II.

kvadrantu.

arctg (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

Pokud bychom to počítali pomocí arkus tangens, vyšlo by nám

- 53^{\circ}

, tedy hodnota ve

IV.

kvadrantu a ne ve

II.

kvadrantu. Zde čtenáře upozorňujeme, že se lze setkat s ne vždy spolehlivou taktikou, při které se k výsledku přičte úhel

180^{\circ}

, čímž dostaneme příslušný vedlejší úhel ve

II.

kvadrantu:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Příklad 2.1

\vec{u} = 5 \hat{i} + 8 \hat{j}

θ =

^{\circ}

Odpovědí by měl být úhel mezi $0^{\circ}$ ‍ a $360^{\circ}$ ‍ zaokrouhlený na setiny.

Chceš si zkusit více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 3: Určení složek vektoru pomocí jeho velikosti a směrového úhlu

Známe-li velikost a směrový úhel nějakého vektoru, pak jeho složky určíme tak, že velikost postupně zvlášť vynásobíme kosinem a sinem směrového úhlu.

\vec{u} = (| \vec{u} | \cos (θ), | \vec{u} | \sin (θ))

x

Například složky vektoru s velikostí

2

a směrovým úhlem

30^{\circ}

vypadají následovně:

(2 \cos (30^{\circ}), 2 \sin (30^{\circ})) = (\sqrt{3}, 1)

Příklad 3.1

\vec{u} \approx (

,

)

Výsledné složky zaokrouhli na setiny.

Chceš si zkusit více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Analytická geometrie