Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Přehled vektorů zadaných podle velikosti a směru

Na příkladech si zopakuj vektory zadané pomocí velikosti a směru.
Velikost vektoru (a,b)
 (a,b) =a2+b2
Směrový úhel vektoru (a,b)
θ=arctg(ba)
Složky zapsané pomocí velikosti  u  a směrového úhlu θ
( u cos(θ), u sin(θ))

Co jsou velikost a směrový úhel vektoru?

Vektory jsme zvyklí zapisovat pomocí jejich složek, například (3,4). Takto zapsaný vektor pak můžeme znázornit v soustavě souřadnic jako orientovanou úsečku začínající v počátku soustavy souřadnic a končící v bodě, jehož souřadnice jsou stejné jako složky daného vektoru.
Při pohledu na obrázek vidíme, že existuje ještě jiný způsob, jak jednoznačně popsat vektor — pomocí jeho velikosti a směrového úhlu:
Velikost vektoru udává délku jemu příslušné orientované úsečky, zatímco směrový úhel vektoru je orientovaný úhel, který svírá kladná x-ová poloosa s daným vektorem (jemu příslušnou úsečkou).
Velikost vektoru v se obvykle značí jako |v|.
Chceš se dozvědět více o velikosti vektorů? Zkus si pustit tohle video.
Zajímá tě směrový úhel vektorů? Mrkni se na naše video.

Sada příkladů 1: Určení velikosti vektoru pomocí jeho složek

Velikost vektoru je rovna druhé odmocnině ze součtu druhých mocnin složek daného vektoru (jde o přímý důsledek Pythagorovy věty):
|(a,b)|=a2+b2
Například velikost vektoru (3,4) je 32+42=25=5.
Příklad 1.1
u=(1,7)
|u|=

Výsledek můžeš zadat přesně jako druhou odmocninu z nějakého čísla nebo ho můžeš uvést jako desetinné číslo zaokrouhlené na setiny.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 2: Určení směrového úhlu vektoru pomocí jeho složek

Směrový úhel vektoru určíme tak, že jeho druhou složku vydělíme první složkou a poté spočítáme arkus tangens tohoto podílu, načež ještě musíme provést dodatečnou úpravu výsledku podle kvadrantu (viz začátek tohoto článku).
θ=arctg(ba)+dodatečná úprava
Tento vztah platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek soustavy souřadnic, koncový bod daného vektoru začínajícího v počátku a první složka tohoto vektoru zakreslená na ose x.

Příklad 1: I. kvadrant - reálná část je kladná

Spočítejme směrový úhel vektoru (3,4):
arctg(43)53

Příklad 2: IV. kvadrant

Spočítejme směrový úhel vektoru (3,4):
arctg(43)53
Tento úhel sice patří do správného kvadrantu, ale jeho velikost nám vyšla záporná. Protože pro směrový úhel vektoru se běžně používají úhly s kladným počtem stupňů, přičteme k našemu výsledku ještě 360:
53+360=307

Příklad 3: II. kvadrant

Zkusme určit směrový úhel vektoru (3,4). Nejprve si všimněme, že vektor (3,4) míří do II. kvadrantu.
arctg(43)53
Pokud bychom to počítali pomocí arkus tangens, vyšlo by nám 53, tedy hodnota ve IV. kvadrantu a ne ve II. kvadrantu. Zde čtenáře upozorňujeme, že se lze setkat s ne vždy spolehlivou taktikou, při které se k výsledku přičte úhel 180, čímž dostaneme příslušný vedlejší úhel ve II. kvadrantu:
53+180=127
Příklad 2.1
u=5i^+8j^
θ=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Odpovědí by měl být úhel mezi 0 a 360 zaokrouhlený na setiny.

Chceš si zkusit více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 3: Určení složek vektoru pomocí jeho velikosti a směrového úhlu

Známe-li velikost a směrový úhel nějakého vektoru, pak jeho složky určíme tak, že velikost postupně zvlášť vynásobíme kosinem a sinem směrového úhlu.
u=(|u|cos(θ),|u|sin(θ))
Tento vztah platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek soustavy souřadnic, koncový bod daného vektoru začínajícího v počátku a první složka tohoto vektoru zakreslená na ose x.
Například složky vektoru s velikostí 2 a směrovým úhlem 30 vypadají následovně:
(2cos(30),2sin(30))=(3,1)
Příklad 3.1
u( 
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
 ,
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
)
Výsledné složky zaokrouhli na setiny.

Chceš si zkusit více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.