If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Přehled vektorů zadaných podle velikosti a směru

Na příkladech si zopakuj vektory zadané pomocí velikosti a směru.
Velikost vektoru left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis
\mid, space, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, space, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Směrový úhel vektoru left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis
theta, equals, a, r, c, t, g, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Složky zapsané pomocí velikosti \mid, space, u, with, vector, on top, space, \mid a směrového úhlu theta
left parenthesis, \mid, space, u, with, vector, on top, space, \mid, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, comma, \mid, space, u, with, vector, on top, space, \mid, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis

Co jsou velikost a směrový úhel vektoru?

Vektory jsme zvyklí zapisovat pomocí jejich složek, například left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis. Takto zapsaný vektor pak můžeme znázornit v soustavě souřadnic jako orientovanou úsečku začínající v počátku soustavy souřadnic a končící v bodě, jehož souřadnice jsou stejné jako složky daného vektoru.
Při pohledu na obrázek vidíme, že existuje ještě jiný způsob, jak jednoznačně popsat vektor — pomocí jeho start color #11accd, start text, v, e, l, i, k, o, s, t, i, end text, end color #11accd a start color #1fab54, start text, s, m, e, with, \v, on top, r, o, v, e, with, \', on top, h, o, space, u, with, \', on top, h, l, u, end text, end color #1fab54:
start color #11accd, start text, V, e, l, i, k, o, s, t, end text, end color #11accd vektoru udává délku jemu příslušné orientované úsečky, zatímco start color #1fab54, start text, s, m, e, with, \v, on top, r, o, v, y, with, \', on top, space, u, with, \', on top, h, e, l, end text, end color #1fab54 vektoru je orientovaný úhel, který svírá kladná x-ová poloosa s daným vektorem (jemu příslušnou úsečkou).
Velikost vektoru v, with, vector, on top se obvykle značí jako vertical bar, v, with, vector, on top, vertical bar.
Chceš se dozvědět více o velikosti vektorů? Zkus si pustit tohle video.
Zajímá tě směrový úhel vektorů? Mrkni se na naše video.

Sada příkladů 1: Určení velikosti vektoru pomocí jeho složek

Velikost vektoru je rovna druhé odmocnině ze součtu druhých mocnin složek daného vektoru (jde o přímý důsledek Pythagorovy věty):
vertical bar, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, vertical bar, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Například velikost vektoru left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis je square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Příklad 1.1
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 1, comma, 7, right parenthesis
vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, equals

Výsledek můžeš zadat přesně jako druhou odmocninu z nějakého čísla nebo ho můžeš uvést jako desetinné číslo zaokrouhlené na setiny.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 2: Určení směrového úhlu vektoru pomocí jeho složek

Směrový úhel vektoru určíme tak, že jeho druhou složku vydělíme první složkou a poté spočítáme arkus tangens tohoto podílu, načež ještě musíme provést dodatečnou úpravu výsledku podle kvadrantu (viz začátek tohoto článku).
theta, equals, a, r, c, t, g, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, start text, d, o, d, a, t, e, c, with, \v, on top, n, a, with, \', on top, space, u, with, \', on top, p, r, a, v, a, end text
Tento vztah platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek soustavy souřadnic, koncový bod daného vektoru začínajícího v počátku a první složka tohoto vektoru zakreslená na ose x.

Příklad 1: start text, I, point, end text kvadrant - reálná část je kladná

Spočítejme směrový úhel vektoru left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis:
a, r, c, t, g, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Příklad 2: start text, I, V, point, end text kvadrant

Spočítejme směrový úhel vektoru left parenthesis, 3, comma, minus, 4, right parenthesis:
a, r, c, t, g, left parenthesis, start fraction, minus, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
Tento úhel sice patří do správného kvadrantu, ale jeho velikost nám vyšla záporná. Protože pro směrový úhel vektoru se běžně používají úhly s kladným počtem stupňů, přičteme k našemu výsledku ještě 360, degrees:
minus, 53, degrees, plus, 360, degrees, equals, 307, degrees

Příklad 3: start text, I, I, point, end text kvadrant

Zkusme určit směrový úhel vektoru left parenthesis, minus, 3, comma, 4, right parenthesis. Nejprve si všimněme, že vektor left parenthesis, minus, 3, comma, 4, right parenthesis míří do start text, I, I, point, end text kvadrantu.
a, r, c, t, g, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, minus, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
Pokud bychom to počítali pomocí arkus tangens, vyšlo by nám minus, 53, degrees, tedy hodnota ve start text, I, V, point, end text kvadrantu a ne ve start text, I, I, point, end text kvadrantu. Zde čtenáře upozorňujeme, že se lze setkat s ne vždy spolehlivou taktikou, při které se k výsledku přičte úhel 180, degrees, čímž dostaneme příslušný vedlejší úhel ve start text, I, I, point, end text kvadrantu:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Příklad 2.1
u, with, vector, on top, equals, 5, i, with, hat, on top, plus, 8, j, with, hat, on top
theta, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Odpovědí by měl být úhel mezi 0, degrees a 360, degrees zaokrouhlený na setiny.

Chceš si zkusit více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 3: Určení složek vektoru pomocí jeho velikosti a směrového úhlu

Známe-li velikost a směrový úhel nějakého vektoru, pak jeho složky určíme tak, že velikost postupně zvlášť vynásobíme kosinem a sinem směrového úhlu.
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, comma, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
Tento vztah platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek soustavy souřadnic, koncový bod daného vektoru začínajícího v počátku a první složka tohoto vektoru zakreslená na ose x.
Například složky vektoru s velikostí start color #11accd, 2, end color #11accd a směrovým úhlem start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54 vypadají následovně:
left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, comma, start color #11accd, 2, end color #11accd, sine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 3, end square root, comma, 1, right parenthesis
Příklad 3.1
u, with, vector, on top, approximately equals, left parenthesis, space
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
space, comma
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Výsledné složky zaokrouhli na setiny.

Chceš si zkusit více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.