Lineární kombinace vektorů

Máme tady dva vektory, vektor u a vektor w . Vektor u je zadaný jako dva a minus jedna a vektor w jako minus 5 a 5, jsou zadány pomocí svých dvou složek, pomocí x-ové a y-ové složky. Jsou to oba dva dvourozměrné vektory. Už je máme tady i načrtnuté, toto je vektor u, 2 a minus 1, a toto je vektor w, minus 5 a 5. A po nás se chce, abychom spočítali toto. Třikrát vektor u plus jedna pětina vektoru w. Tedy tento součet. Zkuste si to video zastavit a pokuste se to spočítat sami. Tak, my teď na to půjdeme společně. Tři a jedna pětina, to jsou skaláry, a když násobíme vektor skalárem, tak upravujeme jeho velikost, zůstává nám směr. Pozor, pokud by tady bylo záporné číslo, tak se nám směr obrací, bude to přesně opačný směr. Ale máme tu kladná čísla, takže směr bude stejný, jenom se nám upraví velikost vektoru. Takže vektor se nám jakoby, když to tak řekneme, prodlouží nebo zkrátí. Tak se na to pojďme podívat. 3 krát vektor u, 3 krát tedy 2 a minus jedna. Použijeme nějakou novou barvičku. Takže to vlastně bude 3 krát 2, vynásobíme třikrát x-ovou složku a vynásobíme třikrát y-ovou složku. A dostaneme tedy 6 a minus 3. Tak, ten vektor si taky načrtneme hned. Šest a minus tři. 6 a minus tři, zase půjdeme od počátku. Tak. A to je tento vektor. Tady je krásně vidět, že má stejný směr jako vektor u, jenom je třikrát delší. Ten původní vektor u by se tady vešel třikrát, raz, dva, tři. A teď se popasujeme s tou jednou pětinou toho vektoru w. Takže to bude jedna pětina krát minus 5 a 5. Takže to bude jedna pětina krát minus 5 a jedna pětina krát 5. Takže to vlastně bude minus jedna a jedna. To je ten nový výsledný vektor, jedna pětina krát w. Takže minus jedna a jedna, to si načrtneme, použiji šedou barvu, minus jedna a jedna. To je tady. Takže zase vidíme, vektor má stejný směr, jenom je o hodně kratší, vešel by se nám do toho původního vektoru 5 krát. Jaký tedy bude jejich součet? Aritmeticky je to jednoduché, sečteme x-ové a y-ové složky a dostaneme tedy 6 plus minus jedna, to je 5, a minus tři plus jedna, to je minus 2. Takže to máme součet. Ale pojďme se na to ještě podívat graficky. Takže graficky se to dělá jak? Začali jsme vektorem třikrát u, ten nás dostal z tohoto bodu sem a budeme pokračovat tím vektorem jedna pětina krát w, odsud. A uvidíme kam nás posune. Takže ta jedna pětina toho w. Je to minus jedna a jedna, o minus jedna podél osy x, o 1 podél osy y. Takže to je takto. A výsledný vektor, už mi došly barvy, tak to udělám zase červeně, to zvládnete, bude tedy vypadat takto, bude mít počáteční bod v počátečním bodě toho prvního vektoru. a koncový bod v koncovým bodě toho druhého vektoru. A tedy to bude vektor 5 a minus 2. Přesně tak jak jsme si tady spočítali.