If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Transkript

My se dnes podíváme na to, co jsou to kuželosečky, co jsou to vlastně za útvary a proč se jim tak říká a jaké kuželosečky vlastně známe. Vy budete překvapení, protože vám to možná nic neříká, ale vlastně všechny ty čtyři kuželosečky, které si představíme, už dávno znáte, jenom asi nevíte, že se jim také říká kuželosečky. Prvně si je vyjmenujeme a potom si ukážeme, proč se jim vlastně tak říká. První je kružnice, stará dobrá známá kružnice. Druhá je elipsa, třetí parabola a čtvrtá kuželosečka je hyperbola. Všechny čtyři už určitě znáte. Pojďme si je jenom rychle zopakovat. Kružnice vypadá nějak takto, tady máme nějaký střed a nějaký poloměr, je to vlastně množina bodů s danou stejnou vzdáleností od daného středu. Elipsa je, když to řeknu laicky hodně, vlastně taková zmáčklá kružnice, může vypadat nějak třeba takto. Kružnice je vlastně speciální případ elipsy, která není roztažená, v uvozovkách, ani jedním směrem a je perfektně symetrická. Parabola, tu už taky znáte, parabola může vypadat nějak třeba takto. Anebo třeba nějak takto a vy už znáte i rovnice těch parabol. Třeba y se rovná x na druhou a tahle by mohla být x se rovná y na druhou, takže to už známe. Hyperbola potom, jenom připomeneme, já tady nakreslím osy x a y, dokreslím nám tady nějaké asymptoty, to ještě stále nejsou hyperboly, tady kreslím jenom něco, podle čeho to potom nakreslím. Hyperbola se nám bude tak jako táhnout podél těch asymptot. Nikdy se jich nedotkne a může vypadat nějak třeba takto, oni jsou tady totiž vždycky dvě. Vypadá to trošku jako dvě paraboly, ale nemá to až tak účkovitý tvar. Je to takové víc otevřené, takže to můžou být hyperboly, nebo třeba takhle to taky může vypadat, tak, velice zhruba. V dalších videích si pak ukážeme rovnice různých kuželoseček, grafy a tak dále. Tohle to je jenom takový rychlý náčrt, abychom zhruba věděli, o co se jedná. A teď si pojďme říct, proč se jim říká kuželosečky. Kuželosečky, to slovo samotné, vidíme, že má nějaké dvě části, kužel, kuželo- a sečka, něco jako průsečka. Pokud vás to takhle napadlo, tak vás to napadlo správně, protože kuželosečka je vlastně křivka, která vznikne průnikem roviny s pláštěm takového nějakého rotačního kuželu. Takže vezmeme rovinu, tou rovinou proložíme ten kužel, ta rovina ho protne a průnikem je nějaká křivka. My bereme jenom plášť toho rotačního kužele, nebereme ten vnitřek, ten zanedbáváme. A průnikem té roviny s tím kuželem, podle toho, jak tu rovinu nakloníme, bude jedna z těch čtyřech kuželoseček. Tak si to teď ukážeme. Já budu črtat, snad to bude srozumitelné, nejsem úplně expert na 3D kreslení. Tak začneme. Mám tady kužel a ten kužel vždycky nakreslím jenom tady v tomto případě na nějakou osu. Co kdybych vzala rovinu, která bude na tu osu kolmá, a proložím ten kužel tou rovinou? Tak já teď budu tak zhruba kreslit, nějak takto. Ta rovina samozřejmě je nekonečná, ona tady všude pokračuje, to je jenom jako náš náčrtek. Stejně tak ten kužel tady pokračuje a nekončí, ano. Takže když ta rovina protne ten kužel v tomto bodě, kolmo na tu osu, tak co tam dostaneme jako průnik toho pláště a té roviny? Kdo tipoval kruh, tak tipoval správně, já to ještě nakreslím. Kdybychom se na ten kužel dívali shora, tak tu máme tu rovinu, která ho protla a tady by vlastně vznikl takový kruh. Si to představte. Dobře, takže to je rovina, která je kolmá na tu osu toho kužele. Co kdybychom tu rovinu mírně, mírně naklonili, už by nebyla kolmá, ale byla by mírně nakloněná, třeba nějak takto. Co by vzniklo tam? Zkuste si to představit, jak ta rovina protne ten kužel, když se na to podíváte seshora. Už by to nebyl kruh, ale byla by to elipsa. Správně, koho napadla elipsa, tak je to správně. Zase kdybychom se dívali seshora, tak by to vypadalo nějak takto. Podle toho, jak moc by to bylo nakloněné, čím víc by ta rovina byla nakloněná, tím protáhlejší by ta elipsa byla, samozřejmě. Takže takto. Máme tady ještě další dva. Kdybychom tu rovinu nakláněli dál, dál a dál, vypadala by nějak takto, já se to pokusím nakreslit. A vysvětlím, co to má znázorňovat. Takže tady ta rovina, ona vede tak, že protíná stále jen tu spodní část toho kužele. Třeba takto. Vede rovnoběžně s pláštěm toho horního kužele a protíná jenom ten spodní. Když si to teď představíte, co ona vlastně dělá, ta rovina, tak už to nebude elipsa, protože tady se nám ta elipsa nějakým způsobem otevře a vznikne nám tady vlastně parabola. Tady takhle protne tady tímhle směrem ten kužel. A taková otevřená elipsa je vlastně parabola. Když se na to opět podíváme seshora, tak by to vypadalo nějak takto. No, to je škaredá parabola. Poslední případ. Když už budeme mít rovinu, která bude rovnoběžná s osou toho kužele a bude protínat obě dvě ty části toho kužele tak, že to bude vypadat nějak takto. Opravdu omluvte mé 3D kreslení, bude protínat oba dva ty kužely, rovnoběžná s osou kužele, Ta rovina nemusí být úplně rovnoběžná. Mohla by svírat s osou úhel menší než je polovina vrcholového úhlu kuželu. No tak pak nám to vlastně tady vytvoří takové dvě hyperboly. A to je vlastně poslední případ. Takže jsme si ukázali, že vlastně kuželosečky už dávno známe. Kružnice, elipsa, parabola a hyperbola. A ukázali jsme si, proč se jim vlastně říká kuželosečky, poněvadž vzniknou průnikem roviny a pláště rotačního kužele. Kružnice, elipsa, parabola a hyperbola.