Poznej kuželosečku podle rovnice: elipsa

Může se vám stát, že dostanete následující zadání. Z rovnice zjistěte, o jakou se jedná kuželosečku, a poté ji načrtněte. Určitě tu rovnici nedostanete v žádném klasickém tvaru, v nějaké středové rovnici, obecné rovnici a podobně, protože z těch je jednoduché potom vyčíst, o jakou kuželosečku se jedná a jak ji načrtnout. Bude to v nějakém takovém tvaru, jako vidíme třeba tady, který budete muset poněkud upravovat. Tak se pojďme podívat na tuto konkrétní rovnici. Jak poznáme, o jakou se jedná kuželosečku? Většinou se to dá rozpoznat už na začátku i před úpravami. Podíváme se na členy x a y. Pokud bude v rovnici jenom x nebo y na druhou a to druhé x a nebo y bude pouze na prvou, tak to zřejmě bude parabola. Pokud tam bude na druhou x i y, tak máme tři možnosti, kružnice, elipsa, hyperbola Pokud koeficienty u těchto kvadratických členů x a y budou stejné, bude to zřejmě kružnice. Pokud jsou různé, tak to bude buď hyperbola nebo elipsa. Pokud jsou oba dva ty členy kladné, tak to bude elipsa. Pokud je jeden kladný a jeden záporný, tak to bude zřejmě hyperbola. Takže my už tady vidíme, že tu máme 2 kvadratické členy, x i y na druhou, a mají rozdílné koeficienty a oba dva jsou kladné. Jak už jsme řekli, bude se jednat o elipsu, ale z tohohle ještě nevyčteme, jak si ji máme načrtnout, tak si to půjdeme teď upravit. Nejjednodušší bude, když využijeme takzvaného doplnění na čtverec. Pokud vám tohle to nic neříká, máme na to docela dost videí. Tak se na ně podívejte, já to budu dělat už trochu zrychleně, ať tady nejsme půl hodiny. Každopádně doplníme si na čtverec a pak ještě trochu upravíme a budeme mít hotovo. Když doplňujeme na čtverec, potřebujeme si dát k sobě členy s x a členy s y. Tak pojďme na to. Takže tady to bude 9x na druhou plus 54x plus něco. To si tu ještě necháme místo. A teď y, plus 4y na druhou minus 8y, tady taky ještě něco doplníme plus 49 se rovná 0. Nejlepší je, když u těch kvadratických členů máme koeficienty 1. A já vidím, že tady můžu něco vytknout, i tady. Takže tady vytknu devítku a zůstane mi tady x na druhou plus 6x plus tedy něco. A tady vytknu čtyřku, plus čtyři krát y na druhou minus dvě y plus něco, zase, plus 49 se rovná 0. Pojďme doplňovat na ten čtverec. Tady chceme dostat x plus něco na druhou rozložené. Podle vzorečku a plus b na druhou, když to rozložíme, tak je to a na druhou plus 2ab plus b na druhou. Takže tady ten koeficient vydělíme dvěma, dostanu trojku, tu umocním na druhou, to je 9, takže tady musím napsat plus 9. Ale pozor, udělala jsem něco levé straně rovnice, něco jsem tu přidala, takže aby ta rovnost byla zachována, musím to přidat i na pravou stranu. Takže musím přidat ne 9, plus 9, ale 9 krát 9, takže plus 81, tady takto. Obdobně postupuji tady, tady mám minus, takže vidím, že to bude vlastně podle vzorce a minus b na druhou, to je a na druhou minus dvě ab plus b na druhou. Zase vydělím koeficient dvěma, dostanu jedničku, umocním na druhou, to je stále jedna. A tak k pravé straně rovnice tentokrát přičtu 4 krát jedna, plus 4. Ještě jednou, pokud tohle to, co jsem udělala, se vám zdá dost divné, koukněte na videa o doplnění na čtverec, není to nic složitého. A my budeme pokračovat dál. Tady to si hned upravíme. 9 krát, jak už jsem řekla, je to rozložené, takže to bude rozložené co? X plus 3 to celé na druhou, tady bude plus 4 krát ta y minus co? Minus 1 to celé na druhou. Abych to nemusela celé opisovat, tak já už budu chtít tu čtyřicet devítku dát na tu pravou stranu. Jo? Tak já to rovnou takhle zkrátím. Rovná se, tady na pravé straně bylo 81 plus 4, to je 85, minus 49, 85 minus 49, to je 36. To už začíná vypadat docela slibně, že, už se někam dostáváme. Ve všech těch rovnicích míváme napravo jedničku, v těch středových rovnicích, takže to asi zkusíme vydělit třiceti šesti a uvidíme, co se stane. Tady bychom měli 9 lomeno 36. Oboje můžeme vydělit devíti. Takže nám nahoře zbyde x plus tři to celé na druhou a dole bude 36 děleno devíti. To je čtyři. Tady bychom měli čtyři lomeno 36. Když to vydělíme čtyřmi, čitatele i jmenovatele, dostaneme y minus 1 to celé na druhou lomeno 36 děleno čtyřmi, to je 9 a tady bude jedna. A dostali jsme se k té rovnici, ke které jsme se chtěli dostat. Takže naše intuice na začátku byla správná, máme tady x na druhou i y na druhou. Rozdílné koeficienty, oba dva kladné, bude to elipsa a opravdu tady toto je středová rovnice elipsy. Tak pojďme ještě zjistit, jak si ji načrtneme. Kde bude mít tato elipsa střed? Podíváme se tady a vidíme, že střed bude v bodě minus tři a jedna. A proč? Kolik musí být x, aby celý tento člen byl nulový? Musí být minus tři, protože pak toto je nula, takže je to celé nulové. Kolik musí být y, aby celý tento člen byl nulový? Jedna. Minus tři a jedna. A potřebujeme ještě délky našich poloos, a bude odmocnina ze čtyř a tedy dva, b bude odmocnina z devíti a tedy tři, takže vidíme, že naše hlavní poloosa bude tentokrát ta rovnoběžná s osou y, takže ta elipsa bude vysoká a úzká. Pojďme si ji načrtnout. Minus tři a jedna, minus tři a jedna, to je tady. To je střed naší elipsy. A teď máme ty dvě poloosy, poloosa rovnoběžná s osou x je dlouhá 2, takže 2 a 2, já si to tady jen tak poznačím, ať vím, jak mám črtat. A poloosa hlavní, rovnoběžná s osou y je 3. Takže 3 a raz dva tři. Tak. A teď už si můžu načrtnout tu naši krásnou elipsu. Ta elipsa bude vypadat nějak takto. A jak jsme to provedli? V podstatě jsme jenom prováděli nějaké úpravy, úpravy, úpravy, použili jsme tedy to doplnění na čtverec. Dostali jsme se k té středové rovnici, viděli jsme, že dole máme dvě různá čísla, takže to nebude kružnice. Viděli jsme už, že máme oba dva členy kladné, takže to nebude hyperbola. Takže jsme zjistili, že to bude elipsa. Podívali jsme se sem, zjistili jsme souřadnice středu. Spočítali jsme si délky hlavní a vedlejší poloosy a pak už bylo jednoduché tu elipsu načrtnout. A máme hotovo.