Kuželosečky: kružnice a parabola

Máme tady video, kde dostaneme vždycky zadanou nějakou rovnici v ne úplně ideálním tvaru. Máme z té rovnice poznat, co to je za kuželosečku a potom tu kuželosečku i načrtnout. Pojďme se podívat na tu první rovnici: x na druhou plus y na druhou minus dvě x plus čtyři y se rovná čtyři. Pojďme na to. Máme tu 2 kvadratické členy, x i y, takže to rozhodně nebude parabola. Oba dva ty členy jsou kladné, takže to nebude hyperbola. Takže to bude elipsa, a jelikož tady vidíme, že máme u obou stejné koeficienty, jedna, tak to bude speciální případ elipsy, kružnice. Takže my už víme, že se bude jednat o kružnici. A teď si musíme tu rovnici nějak upravit, ideálně do podoby středové rovnice kružnice, ze které jednoduše už vyčteme poloměr a střed. Pak už nic nebrání tomu, abychom tu kružnici načrtli. Tak pojďme na to. Na to, abychom to dostali do středové rovnice, využijeme takzvaného doplnění na čtverec. Pokud vám to nic neříká, koukněte na nějaká videa, která na to máme natočená, takže já to budu dělat trošku rychleji. Dáme si k sobě členy s x a členy s y, takže tady bude x na druhou minus dvě x plus něco plus y na druhou plus čtyři y plus něco se rovná čtyři. Pojďme doplnit. Vezmu polovinu tohoto koeficientu, to je jedna, to umocním na druhou, takže tady bude plus jedna, opět vezmu polovinu tohoto koeficientu, to je 2, umocním na druhou, tady bude plus 4. Jenže jsem něco udělala s levou stranou rovnice a aby ta rovnost byla zachovaná, tak musím to samé udělat i s tou pravou stranou. Takže tady přičtu 1 a přičtu čtyři. Takže co tady mám tady na té levé straně? Toto je vlastně x minus jedna na druhou a toto je plus y plus dva to celé na druhou. To se rovná 9. A už tady máme rovnici kružnice, protože rovnice kružnice, když je neposunutá, se středem v počátku soustavy souřadnic, je x na druhou plus y na druhou je rovno r na druhou, kdy toto je poloměr, takže my hned tady vidíme, že poloměr této kružnice tedy bude roven 3, r je rovno třem. A my také vidíme, že ta kružnice je posunutá, nemá střed v počátku soustavy souřadnic, ale je to v bodě jedna a minus dva. To je jednoduché, musí to být taková x-ová a y-ová souřadnice, která nám, v uvozovkách, vynuluje tyto členy, stejně tak jako tady, aby byl celý tento člen nulový, tak tu musí být nula, aby byl celý tento člen nulový, tak musí být y 0. Střed je tedy v bodě nula a nula, v počátku soustavy souřadnic. Kolik musí být x, aby celá tato závorka byla 0? X musí být 1. Kolik musí být y, aby celá tato závorka byla nula, musí to být minus dva. Teď už máme vše k tomu, abychom tu kružnici dokázali hezky načrtnout. Takže střed je v bodě 1 a minus 2, to je tady. A poloměr má být 3. A teď už si můžeme tu kružnici načrtnout. Kružnice zadaná touto rovnicí. Já jsem na začátku říkala, že to vlastně bude zvláštní případ elipsy. Ale vy se možná na to teď podíváte a řeknete si, ale tohle to není rovnice elipsy, tak jak já ji znám, v tom tvaru, v jakém já ji znám. Tak to má jednoduché řešení. Když obě dvě strany rovnice vydělím devíti, tak dostanu x minus jedna to celé na druhou lomeno devíti plus y plus dva to celé na druhou lomeno devíti je rovno jedné. A to už je rovnice elipsy, tak jak ji známe. Tady dole máme vždycky hlavní a vedlejší poloosu, jednu poloosu rovnoběžnou s osou x a jednu rovnoběžnou s osou y. Tady tedy se délky těch poloos rovnají, takže vidíme, že jde opravdu o kružnici. Fajn. První rovnice je za námi. Pojďme si zkusit ještě jeden příklad. Dvě x na druhou plus y plus 12x plus 16 je rovno 0. Tady to začíná být trošku zajímavé, protože vidíme, že tady máme jenom jeden kvadratický člen. Máme tady jenom x na druhou a už tu nemáme y na druhou, takže z toho nám vychází, že to bude parabola. Parabole se věnujeme v několika dalších videích, pro někoho to může být možná jedna z těch složitějších kuželoseček, protože má rovnici v trošku jiném tvaru, než ty ostatní. Ale nebojte se, není to nic složitého. Já teď jenom rychle připomenu, jak mohou vypadat nějaké jednoduché paraboly. Taková klasická parabola může být y se rovná x na druhou. Když si představím osy x a y, tak y je rovno x na druhou, to by byla takováto parabola se středem v počátku soustavy souřadnic. Kdybych měla naopak x je rovno y na druhou, to by ta parabola měla také střed v počátku soustavy souřadnic, ale vypadala by nějak takto, měla by osu rovnoběžnou s osou x. Tato parabola má osu rovnoběžnou s osou y. Abychom načrtli parabolu, asi bychom chtěli znát souřadnice jejího vrcholu a taky průsečíky buď s osou x nebo s osou y podle toho, o jakou parabolu se jedná. My tady vidíme, že tady máme kvadratický člen x na druhou, takže to bude tento případ té paraboly. Takže bychom si to asi rádi převedli do nějakého podobného tvaru jako je tady toto, abychom pak z toho mohli vyčíst ty průsečíky. Na levé straně si necháme jenom y a na pravou stranu dáme ten zbytek, takže y je rovno minus dvě x na druhou minus 12x minus 16. Co dál s tím? Říkala jsem, že z toho chceme vyčíst ty průsečíky. Takže položíme y rovno nule, abychom našli průsečíky s osou x. 0 je rovno minus dvě x na druhou minus 12x minus 16. Tady se mi nelíbí ten koeficient, já si tady vytknu, 0 se rovná minus 2 krát x na druhou plus 6x plus 8. Takže tady vidím osmičku, tady vidím šestku, no tak to je jednoduché, to bude minus 2 krát x plus 2 krát x plus 4. Aby toto se rovnalo nule, musí být buď tato nebo tato závorka nulová, takže x plus 2 se rovná 0 a nebo x plus 4 se rovná 0, takže x je buď minus 2 a nebo minus 4, výborně. Takže my vidíme, že průsečíky s osou x budou v bodech minus 2 a 0 a minus 4 a 0. Tak si to pojďme zakreslit, minus 2 a 0 a minus 4 a 0, to jsou průsečíky té paraboly s osou x. A teď bychom to rádi tu rovnici dostali do toho tvaru, do vrcholové rovnice paraboly, tak jak ji známe. A zase použijeme doplnění na čtverec. Použijeme tuto upravenou rovnici, jenom si tady zase dosadíme zpátky y, y je rovno minus 2 krát x na druhou plus 6x. Tady bude ještě něco a tohle to si dám zpátky, dám tam to minus 16, toto nechám tady, ať se nám to tady nemotá, polovinu koeficientu vezmu, to jsou tři, to dám na druhou, takže tady bude plus 9. Udělala jsem něco s pravou stranou rovnice, musím to udělat i s tou levou, aby byla zachovaná rovnost. Tady je minus dva krát 9, odečítám minus 18, takže tady musí být taky minus 18, takže potom dostaneme, že y minus 18 je rovno minus 2 krát, tohle je x plus 3 to celé na druhou, minus 16. To ještě stále není v tom správném tvaru. Já bych si chtěla tady na pravé straně osamostatnit tuto závorku a zbytek mít na levé straně. Takže, přičtu si minus 16 a dostanu y minus 2 je rovno minus 2 krát x plus 3 to celé na druhou. Vydělím obě strany minus dvěma, vydělit minus dvěma je jako bych to vynásobila minus jednou polovinou, takže minus jedna polovina krát y minus 2 se rovná x plus 3 to celé na druhou. A to už je ten tvar paraboly takový, jaký ho známe, a z toho už jednoduše vyčteme souřadnice vrcholu a ty jsou minus 3 a 2. Vrchol má souřadnice minus 3 a 2, takže si to načrtneme tady sem, minus 3 a 2, což dává smysl, protože ještě si ukážeme jednu věc, tady tohle je x na druhou, kdyby tady bylo y je rovno minus x na druhou, tak by ta parabola vypadala nějak takto. To je minus x na druhou. Kdybychom měli y je rovno dvě x na druhou, tak by ta parabola byla o fous strmější. Takže to je 2x na druhou. Kdybychom měli minus dvě x na druhou, tak je to tady, jenom zase o něco strmější. Pomiňte tady ty moje hrozné kresby. Já myslím, že to chápete, co se tady snažím naznačit. A když se podíváme sem, ještě než jsme tu minus dvojku přehodili doleva, tak tohle je vlastně minus dvě x na druhou, jenom o fous někam posunuté. Takže ta parabola by měla mít takovýto tvar a ona ho opravdu má, jak krásně tady vidíme. Ta parabola bude vypadat nějak takto, zhruba. Myslím si, že úplně přesnost náčrtku není důležitá. Ještě jednou, jak už jsem řekla, je to parabola, která se otvírá směrem dolů, protože tady máme záporný koeficient před tím x na druhou a máme tam kvadratický člen u x, takže má osu rovnoběžnou s osou y. To je naše parabola zadaná touto rovnicí a máme hotovo.