Ohniska elipsy z její rovnice

Dnes si řekneme něco o ohniscích elipsy. Pojďme začít tím, co už známe. Zapíšeme si rovnici elipsy, která má střed v počátku, to je x na druhou lomeno a na druhou plus y na druhou lomeno b na druhou, celé je to rovno jedné, kdy a a b jsou poloosy. Jedna z nich je hlavní, protože je delší a jedna z nich je vedlejší, ta kratší. Pojďme dnes předpokládat, že a je ta hlavní poloosa, takže je větší než b, takže ta naše elipsa bude taková nižší a širší, hned si ji nakreslíme. Ještě dodám jednu zajímavou věc, že my ty poloosy nemusíme značit jenom a a b, ale někdy se setkáte i s označením p a q a to označení má tu výhodu, že p bude vždycky hlavní poloosa a q bude vždycky ta vedlejší poloosa. Takže my nemusíme zjišťovat, jestli a je větší než b, nebo si to nějak určovat. Ale pokud použijeme označení p a q, tak vždy víme, že p je ta delší, ta hlavní poloosa a q ta vedlejší. Možná vás teď nenapadá k čemu by nám to mohlo sloužit, ale později uvidíte, že to vlastně je docela užitečné. Pojďme dál. Máme tuto rovnici. Pojďme si ještě načrtnout nějakou tu elipsu. Tady máme nějakou elipsu, řekli jsme, že má střed v počátku, tak já tady načrtnu osy x a y, samozřejmě zhruba, teď není důležité být úplně přesný. Už jsme řekli, že máme poloosy a a b, kdy ta a je ta hlavní, takže já ji tady načrtnu. Toto je a a tady bude b, takže toto už známe. A já jsem říkala, že si řekneme něco o ohniscích. To je vlastně nejzajímavější vlastnost elipsy, z které vychází i definice elipsy. Máme na hlavní ose elipsy dva body, které když vezmeme libovolný bod na elipse a sečteme vzdálenost tohoto bodu od těchto dvou bodů, tak je to vždy tatáž vzdálenost, vždy konstantní vzdálenost, jakýkoli bod na elipse vezmeme a sečteme vzdálenosti od těchto dvou bodů, od těch dvou ohnisek, tak to bude vždy konstantní vzdálenost. Ty body jsou, jak už jsem řekla, na hlavní ose. Většinou se jim říká E a F, jsou to tedy ohniska a jsou souměrné podle středu elipsy. Když si vezmu libovolný bod na té elipse, třeba tady nějaké X a spočítám si jeho vzdálenost od bodu E a k tomu přičtu vzdálenost od bodu F, tak to bude nějaké číslo. Když si pak vezmu třeba tento bod, bod Y tady na ose y a spočítám zase jeho vzdálenost od bodu E a od bodu F, tak to bude úplně stejné číslo jako u toho bodu X. A já vám teď řeknu ještě jednu zajímavost a to tu, že ta vzdálenost, ten součet těch vzdáleností od těch dvou bodů, těch dvou ohnisek, bude vždy roven 2 krát a, dvakrát délka té hlavní poloosy, tedy vlastně délka celé té hlavní osy. Já to tu zapíšu. Takže tato vzdálenost plus vzdálenost bodu X od bodu F bude rovna dva krát a a stejné to bude v tomto případě, kdy tato vzdálenost plus tato vzdálenost bude také rovna dva krát a, bude to vždy jedna a tatáž vzdálenost. Jak už jsem řekla, z tohoto vychází i definice elipsy, která zní, že to je množina bodů roviny, které mají konstantní součet vzdáleností od dvou pevně daných bodů, od těch dvou ohnisek. A já jsem vám tady tvrdila, že ta vzdálenost je rovna dva krát a, dvakrát ta délka té hlavní poloosy, tedy dvakrát a nebo také dvakrát p. Pojďme si dokázat, že tomu tak opravdu je, protože já vám nikdy neříkám nic bez toho, aniž bych vám to dokázala. Tak já si tady tu elipsu nechám, načrtnu si ještě jednu elipsu, osy x a y. Připomínám, tady máme b, tak jak je to na obrázku, já to znovu překreslím, tady to nahoře. A tady máme a a my si chceme dokázat, že ta vzdálenost, součet těch vzdáleností od dvou ohnisek od libovolného bodu na elipse, je dva krát a. Já si vyberu nějaký bod na ose asi x, ty body, které jsou na těch osách, jsou kolikrát velmi užitečné. Dobře se s nimi počítá a dobře se to na nich ukazuje. Takže tady je bod X. Tady jsou nějaká ta ohniska E a F, souměrná podle středu, jak už jsme řekli. My chceme dokázat, že tato vzdálenost, tedy ta vzdálenost X od bodu F a vzdálenost od bodu E, tedy tato vzdálenost, ten jejich součet je roven dvě a. Já to tu ještě napíšu znovu. A pojďme se na to podívat. Tady máme tu kratší vzdálenost, od bodu F. Řekli jsme, že ty dva body jsou souměrné podle středu, tedy jejich vzdálenost od středu je stejná. A jelikož je toto stejné, tak tedy toto a tady tento malý úsek, to musí být taky stejné. Já to tady vyznačím, takže tato vzdálenost, ta vzdálenost X od bodu F, musí být stejná jako tato vzdálenost. Takže my máme vlastně tuto vzdálenost nebo tuto, je to libovolně jedno. A k tomu chceme přičíst tuto vzdálenost X od bodu E. Tak my tady teď krásně vidíme, že to je vlastně tato vzdálenost a celá tato vzdálenost, tedy je to vlastně celá tato osa. Ta hlavní osa elipsy. A jelikož poloosa je a, tak je to a a ještě jednou a, tedy dva krát a. Ten důkaz byl jednoduchý, že? Ale vy si teď možná říkáte, no a jak já přijdu na to, kde ta ohniska na té ose leží. A to se naučíme právě teď. Načrtnu další elipsu. Dnes jich budeme mít hodně. A jdeme na to. Už jsme řekli, že ta vzdálenost libovolného bodu od těch dvou ohnisek, součet těch vzdáleností od těch dvou ohnisek, je roven dvě a. Takže já si zase zvolím nějaký bod, který bude pro nás zajímavý, tentokrát to bude bod X a bude tady ležet na ose y. Uvidíte proč je to vlastně vhodné. Máme tady tu vzdálenost od ohniska E a od ohniska F, zopakuji ještě jednou, řekli jsme, že součet těchto vzdáleností je roven 2a. Tedy že délka té úsečky XE plus délka té úsečky XF, to dohromady, je rovno dva krát a. A už jsme také řekli několikrát, že ohniska jsou souměrná podle středu, takže logicky tato vzdálenost musí být stejná jako tato vzdálenost v tomto případě. A jelikož tu máme dva krát a, tak každá ta vzdálenost, každá tady tato úsečka bude mít délku a, takže XE, délka té úsečky XE, bude a a délka té úsečky XF bude také a. Tak to už vypadá zajímavě. A potom už také víme, že toto je ta vedlejší poloosa, a je ta hlavní, tady tato. A toto je b, ta vedlejší poloosa. A my chceme spočítat tady toto, my chceme spočítat tuto vzdálenost, protože většinou známe souřadnice středu elipsy. Takže my bychom rádi věděli, jak vzdálená jsou ta ohniska od toho středu, této vzdálenosti se říká excentricita a většinou se značí E. A my chceme spočítat toto. A potom, když už máme souřadnice středu elipsy, což poznáme z rovnice elipsy, tak už si to potom krásně můžeme dopočítat. Tak to spočítáme, tuto vzdálenost. My vidíme, že tady vlastně máme pravoúhlý trojúhelník. Známe délku přepony a délku jedné z odvěsen, takže je to vlastně úplně jednoduché. Druhá mocnina délky této odvěsny plus druhá mocnina délky této odvěsny je rovna druhé mocnině délky přepony, klasická Pythagorova věta, tedy e na druhou plus b na druhou je rovno a na druhou. Když chceme jenom to e, tak to bude e na druhou se rovná a na druhou minus b na druhou. A e bude rovno odmocnině z a na druhou minus b na druhou. Musím si dát pozor, že tady vždy budu odečítat menší od většího. Tedy toto musí být ta hlavní poloosa a toto ta vedlejší vždycky, abychom tady nedostali dole záporné číslo pod odmocninou. Takže toto je vzorec, který většinou najdete pro excentricitu, e na druhou se rovná a na druhou minus b na druhou. Pro tento vzoreček se nám budou hodit, pozor, to p a q, protože víme, že p je vždycky hlavní a q je vždycky vedlejší. U toho a a b to tak jednoduše nevíme, takže se nám bude hodit zápis toho vzorečku takto, e na druhou se rovná p na druhu minus q na druhou a to vždy, poněvadž p se vždy značí ta hlavní poloosa, která je delší, takže často to najdete i v tomto tvaru. Takže je to vlastně úplně jednoduché, ale abyste to hezky pochopili, tak si spočítáme i nějaký příklad, samozřejmě, jako vždy. Já tady mám připravenou soustavu souřadnic, naši klasickou. Budeme mít rovnici elipsy a z té bychom rádi vyčetli souřadnice těch ohnisek té elipsy, tudíž jak budeme postupovat? Prvně si najdeme střed elipsy podle rovnice. Potom spočítáme tu excentricitu, tu vzdálenost ohnisek od středu. A potom tím pádem můžeme dopočítat souřadnice těch ohnisek. Takže ta rovnice elipsy tentokrát bude x minus jedna to celé na druhou lomeno 9 plus y plus 2 na druhou lomeno čtyřmi. To celé je rovno jedné. To je rovnice naší elipsy. Souřadnice středu jsou jednoduché, ty najdeme tady. A vidíme, že to je jedna a minus dva. Pokud vám toto nic neříká, pusťte si nějaká předchozí videa, tam jsme to už dostatečně rozebírali. Já to tady teď rozebírat nebudu. Aby to nebylo zbytečně zdlouhavé. Střed elipsy je v bodě jedna a minus dva. To je tady. A teď ještě potřebujeme hlavní a vedlejší poloosu. Vidíme, že hlavní je tady podél osy x. A toto je a na druhou, takže a bude rovno třem. Píšu to tady bokem, a je rovno třem. A toto je b na druhou, délka vedlejší poloosy na druhou, takže vedlejší poloosa bude dlouhá 2, b je rovno 2. Také bychom to mohli mít p a q, nezapomínejte, protože tady toto je hlavní poloosa. Dobře. Já si to tady jenom jemně odpočítám, abych to mohla hezky načrtnout. Takže délka hlavní poloosy je rovna 3, raz, dva, tři, raz, dva, tři. Vedlejší dva, raz, dva, raz, dva. Takže ta elipsa bude vypadat nějak takto, zhruba, více méně, samozřejmě. Tady máme ty hlavní a vedlejší osy a my teď chceme spočítat tu excentricitu, abychom mohli najít ty souřadnice těch ohnisek. A to, jak už jsme si řekli, já to ještě jednou vrátím zpátky, je e na druhou se rovná a na druhou minus b na druhou nebo p na druhou minus q na druhou. Takže ta délka té hlavní poloosy na druhou minus délka té vedlejší poloosy na druhou, v našem případě e na druhou, bude rovno 3 na druhou, tedy 9, to už máme vlastně tady, minus b na druhou, to je 4. Dva krát dva je 4. E na druhou bude rovno 5 a e tedy bude rovno odmocnině z pěti. To nám ještě úplně neříká, jaké jsou ty souřadnice ohnisek, ale ono je to jednoduché. Když už máme souřadnice středu, ohniska leží na hlavní poloose, tedy této, která v tomto případě je rovnoběžná s osou x, takže y-ová souřadnice bude pořád stejná, pořád minus dva, jenom se změní souřadnice x-ová u E. Já to tady zhruba načrtnu, to E bude někde tady a F bude někde tady. Takže to E bude mít tu x-ovou souřadnici menší, jde do minusu oproti tomu středu, o to odmocnina z pěti, což je ta excentricita, ta vzdálenost toho ohniska od středu. A F bude mít tu x-ovou souřadnici naopak větší. Takže e bude jedna minus odmocnina z pěti, minus ta vzdálenost od středu, a y-ová zůstává stejná. A F bude naopak jedna plus odmocnina z pěti a minus dva. Já doufám, že to je pochopitelné. Takže dnes jsme si řekli něco o ohniscích elipsy, kde leží, jaké mají vlastnosti a jak je najít. A příště budeme pokračovat s ohnisky hyperbol a parabol.