Body na kružnicích – Řešený příklad

Bod A má souřadnice -5 a 5 a je středem kružnice KA. Bod B má souřadnice 3 a 1 a je středem kružnice KB. Bod P má souřadnice 0 a 0 a leží na kružnicích KA a KB. Který z následujících bodů leží na kružnici KA, kružnici KB nebo na obou? Projdeme si to zadání znovu. Máme tady nějaký bod A, který má souřadnice -5 a 5 a je středem kružnice KA. -5 a 5. To je tady. Takže tady leží náš bod A. Pak tady máme bod B, který má souřadnice 3 a jedna a je středem kružnice KB, 3 a jedna, to je tady. A pak tu máme bod P, který má souřadnice 0, 0, a který leží na obou dvou těch kružnicích. To je pro nás důležitá informace. Takže bod P je tady. A my tedy víme, že ten bod P leží na obou dvou kružnicích. Takže si tady jednoduše můžeme načrtnout poloměry jak kružnice KA, tak KB. Toto bude poloměr kružnice KA a toto bude poloměr kružnice KB. A oni se nás ptají, který z následujících bodů leží na kružnici KA, kružnici KB nebo na obou. A jak na to přijdeme? Přijdeme na to jednoduše. Pomocí toho bodu P si tedy můžeme spočítat, jaké poloměry mají kružnice KA a KB a potom to porovnáme se vzdálenostmi těchto bodů od bodů A a B, protože kružnice je vlastně množina všech bodů, které mají vzdálenost rovnu poloměru té kružnice. Takže pokud nějaký z těch bodů bude ve vzdálenosti například bodu A, která bude rovna tomu poloměru kružnice, tak víme, že leží na té kružnici. Takže nejdřív musíme spočítat poloměry těch kružnic KA a KB podle tohoto bodu P, vzdálenost A od bodu P a vzdálenost B od bodu P. A potom si spočítáme jednotlivé vzdálenosti od těchto bodů AC, BC, AD, BD, AE BE a zjistíme, jestli některý z těchto bodů leží na nějaké z těch kružnic. Tak pojďme na to. Prvně si spočítáme poloměr kružnice KA, tedy můžeme to napsat jako rA. My víme, že vzdálenost dvou bodů se počítá v podstatě pomocí Pythagorovy věty, kdy si tady představíme pravoúhlý trojúhelník já ho tu pro vás načrtnu jen tak pro připomenutí, protože tohle už dávno známe. Na to máme hromadu videí už, které jste určitě viděli. Takže my víme, že tato vzdálenost mezi bodem A a B je vlastně délka přepony toho trojúhelníku, tady mám dvě odvěsny, jejichž délky vlastně znám. Je to změna x-ových souřadnic a změna y-ových souřadnic mezi těmito dvěma body. A když sečtu druhé mocniny délek těchto odvěsen a to celé odmocním, tak dostanu délku té přepony. Prostě a jednoduše Pythagorova věta. Takže rA bude tedy rovno, už jsme řekli odmocnině, tady bude dlouhá odmocnina. Takže jaká je změna u x? Máme bod A a bod P. Je to tedy nula minus minus 5, to celé na druhou, jak už jsme říkali, plus a teď změna y-ových souřadnic, 0 minus 5, to celé na druhou. Tady vlastně počítáme vzdálenost bodů A a P. Jenom to tady napíšu pro připomenutí. A a P. To bude tedy odmocnina z 0 minus minus 5, je 0 plus 5, to je 5 na druhou, to je 25, plus 0 minus pět je minus 5, ale minus 5 na druhou je také 25. Mohli bychom tedy napsat, že to je odmocnina padesáti, ale možná by nám pomohlo spíš kdybychom napsali, že to je odmocnina z dvakrát 25, vidíme jednou 25, podruhé 25, dvakrát 25, protože 25 můžeme odmocnit a zbude nám tedy, že to je rovno pěti odmocninám ze dvou. To je tedy poloměr kružnice KA neboli vzdálenost bodů A a P. Když si budeme chtít spočítat tedy r, poloměr kružnice KB, rB, budeme postupovat úplně stejně. To bude tedy rovno odmocnině, dlouhé odmocnině, bereme bod B a P. Tyto dvoje souřadnice. Takže opět nula minus tři. To je změna x, 0 minus 3, to celé na druhou, plus změna y-ových souřadnic, 0 minus jedna, to celé na druhou. Úplně obdobně. To bude tedy odmocnina z 0 minus tři, minus 3 na druhou, to je 9 plus 0 minus jedna, minus jedna na druhou, to je 1. Takže to je od mocnina z desíti, s tím už nic neuděláme, to už částečně neodmocníme. Tak, to je tedy délka poloměru kružnice K B. Vidíme to tady na obrázku. A teď tedy si vezmeme ty jednotlivé body. Určitě si je zakreslíme do obrázku, tady do našeho grafu, abychom viděli, kde leží a něco možná odhadneme i jenom pouhým okem. A něco si dopočítáme. Začneme s bodem C, který má souřadnice 4 a minus 2, 4 a minus 2. Takže tady je bod C. Když se podíváme na kružnici KA, ta má střed tady a poloměr tady, takže vidíme, že to bude někde tady, ta kružnice, a vidíme, že bod C je opravdu hodně daleko a rozhodně neleží na té kružnici KA, to nemusíme ani zkoušet. Kružnice povede nějak takto. Bod C je úplně mimo. Takže na kružnici KA bod C určitě neleží. To nám ušetří jedno počítání, ale když se podíváme, tady máme střed kružnice KB a její poloměr. Tak to vypadá, že na kružnici KBby teoreticky ležet mohl. Takže to si musíme dopočítat. Budeme tedy počítat vzdálenost mezi body B a C. Hledáme tedy vzdálenost mezi body B a C. Úplně zase obdobně jako jsme to počítali tady. Zase jedna velká odmocnina. Máme bod B a C. Takže změna x-ových souřadnic 4 minus 3, to celé na druhou, plus změna y-ových souřadnic, minus dva minus jedna, to celé na druhou. A to se ještě odmocní. Takže pod odmocninou nám zbude jedna na druhou, to je jedna, plus minus dva minus jedna je minus tři na druhou, to je 9. Takže zase dostaneme odmocninu z desíti, takže vidíme, že vzdálenost mezi B a C je ta stejná jako mezi body B a P. Tedy je stejná jako poloměr kružnice KB. To znamená, že náš bod C, když to tady tak trošku můžu zkusit načrtnout, leží na té kružnici KB. Jelikož jeho vzdálenost od středu je stejná jako vzdálenost toho budu P, který na té kružnici také leží. Řekli jsme, že bod C tedy neleží na kružnici KA, ale leží na kružnici KB, takže tento bod leží na kružnici KB. Co bod D se souřadnicemi 5 a 3, 5 a 3. To je tady.. Takže to je bod D. Opět, když se podíváme na kružnici A, která povede někde tudy, bude procházet tím bodem P se středem v bodě A, tak vidíme, že bod D je opravdu hodně daleko a rozhodně neleží na kružnici KA, takže to ani nemusíme počítat. A když se podíváme na vzdálenost od bodu B, tak nám také přijde trošku kratší než ta k bodu P. Ale nemůžeme to říct úplně s jistotou, protože to tady črtáme. Takže to si pro jistotu spočítáme. Tentokrát tedy budeme počítat vzdálenost bodů B a D. Já to kousek posunu. Takže hledáme vzdálenost bodů B a D, abychom zjistili jestli bod D leží na kružnici KB. Zase, jedna dlouhá odmocnina B a D. X-ové souřadnice, 5 minus 3, to celé na druhou, pořád děláme to samé, a 3 minus jedna, to celé na druhou, pod odmocninou dostaneme dvě na druhou, to je čtyři, plus dvě na druhou, to je taky 4, můžeme napsat, že to je odmocnina z osmi. To by taky šlo. Takže tak, odmocnina z osmi. Nebo je to odmocnina z dva krát 4. A 4 umíme odmocnit, takže by to byly dvě odmocniny ze dvou. Ještě jednou zopakuji, dva krát čtyři, čtyři odmocníme na dvojku, zbude nám 2 krát odmocnina ze dvou. A my vidíme, že ani jeden ten zápis neodpovídá odmocnině z desíti, což je poloměr té kružnice KB, takže tento bod rozhodně neleží na kružnici KB. Ta vzdálenost mezi těmi dvěma body je menší, což znamená, že by ležel vlastně uvnitř té kružnice KB, takže neleží ani na kružnici KA, ani na kružnici KB, ani na jedné. A teď nám zbývá poslední bod. Bod E, souřadnice minus 2 a 8, tady. Tak, to je bod E. U něj zase naopak jednoduše vidíme, že rozhodně neleží na kružnici KB. To je moc daleko. Ale teoreticky vzato by mohl ležet na kružnici KA, i když to také vypadá, že to tak úplně nebude. Ale přece jenom si nemůžeme být jistí. Takže tentokrát zkusíme, jestli tento bod neleží na kružnici KA, tedy budeme hledat vzdálenost bodů A a E a porovnáme ji s poloměrem kružnice KA. Hledáme tedy vzdálenost bodů A a E, já si to tu předepíšu a pak se vrátíme k těm souřadnicím. A a E, tyto dvoje souřadnice, takže x-ové souřadnice: minus dva minus minus pět, to celé na druhou, plus a teď y-ové souřadnice a jejich rozdíl, 8 minus 5, to celé na druhou. Teď tedy dostaneme: minus dva plus pět, to je 3, na druhou, to je 9, plus 8 minus 5, 3, na druhou, to je taky 9. Takže buď odmocnina z osmnácti nebo to zase můžeme napsat jinak. Můžeme to napsat jako odmocnina z dvakrát 9, devítku odmocníme a zbude nám 3 odmocniny ze dvou. Takže vzdálenost bodů A a E je 3 odmocniny ze dvou. Jenže poloměr kružnice KA je 5 odmocnin ze dvou, takže to nesedí. Takže ten bod by zase ležel uvnitř té kružnice, kterou si můžeme představit nějak takto třeba, že ten bod by ležel uvnitř té kružnice KA. Takže bod E, jak už jsme řekli, neleží ani na kružnici KB ani na kružnici KA, neleží tedy ani na jedné z těch kružnic. Po tom, co jsme to všechno spočítali, jsme vlastně zjistili, že jediný z bodů, který leží alespoň na jedné z těch kružnic je bod C, který tedy leží na kružnici KB.