Hlavní obsah
Analytická geometrie
Kurz: Analytická geometrie > Kapitola 1
Lekce 3: Řešení úloh na vzdálenosti v soustavě souřadnicVzdálenost bodů v soustavě souřadnic – Černokněžník a jeho poskoci
Společně zjistíme, které poskoky zlého černokněžníka se podaří zasáhnout čarodějovi v počítačové hře. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Klára hraje počítačovou hru. Úkolem její postavy je vyhnat z království
zlého černokněžníka a jeho poskoky. Její postava je kouzelník, jehož kouzla mají
dosah šest metrů. Pozice objektů ve hře jsou uloženy pomocí
souřadnic x a y. A teď tu máme pozice jednotlivých lidí. 5 a 4 je pozice Klářina kouzelníka, 8 a 7 je
pozice poskoka A, 2 a -1 je pozice poskoka B, 9 a 0 je pozice poskoka C. A
ptají se nás, které poskoky se Klářinu kouzelníkovi podaří zasáhnout. Už jsme si tu vyznačili, že kouzla toho
kouzelníka od Kláry v té hře mají dosah šesti metrů. Tohle to celé tedy bude pravděpodobně v
metrech. A my známe pozici Klářina kouzelníka i všech těch poskoků. A jak tedy zjistíme, které ty poskoky ona
bude schopna zasáhnout těmi kouzly. No, zjistíme, kteří z nich jsou tedy v
dosahu těch šesti metrů. Jinými slovy, kteří jsou vzdáleni maximálně
do šesti nějakých jednotek, tady metrů, od toho Klářina kouzelníka. Takže jednoduše zjistíme jednotlivé vzdálenost
kouzelníka od poskoka A, B a C, tedy vzdálenosti jednotlivých bodů, které tady máme dané
souřadnicemi x a y. A zjistíme, které vzdálenosti jsou menší než 6. Vzdálenost bodů, to je jednoduché, to už
umíme dávno spočítat, jenom si to tu můžeme připomenout. Máme nějaký bod, který má
souřadnice x1 a y1. Pak máme nějaký druhý bod, který má
souřadnice x2 a y2. A my chceme spočítat jejich vzdálenost. A my už dávno víme z předešlých videí, že
to je v podstatě jenom použití Pythagorovy věty, kdy si tady představíme pravoúhlý
trojúhelník. A když máme souřadnice těch dvou bodů, tak
vlastně známe délky odvěsen toho pravoúhlého trojúhelníku. Tady to bude vlastně změna x-ových
souřadnic, jdu od x1 do x2. Takže tady to bude změna x, a dáme to do
absolutní hodnoty, neboť délka nějaké úsečky musí být vždy nezáporná. A tady to bude změna y-ových souřadnic,
změna podél osy y, změna y v absolutní hodnotě. Máme-li délku obou odvěsen, není problém spočítat přeponu pravoúhlého
trojúhelníku. To bude odmocnina součtu druhých mocnin
délek těch odvěsen a tedy změna x, to celé na druhou, plus změna y, to celé na druhou, tady absolutní
hodnoty být nemusí, protože cokoli na druhu bude vždy nezáporné. Takže já si vlastně vezmu dva ty body,
spočítám si tedy změnu x a změnu y mezi těmito dvěma body, použiji jejich druhé
mocniny, které sečtu, to celé odmocním a dostanu vzdálenost dvou bodů. Pojďme si ty body
nějak pojmenovat, ty pozice ve hře. Takže Klářin kouzelník bude K a souřadnice
těch poskoků, tak to budou jednoduše A, B a C. Vzdálenost kouzelníka od poskoka A
budeme tedy počítat jako vzdálenost bodů K a A. Takže ta, jak jsme si řekli, bude to odmocnina
ze změny podél osy x, takže 8 minus 5, to celé na druhou, plus 7 minus 4, to celé na druhou.
Vidíme, že jsme se tady posunuli o 3 a tady také o 3. Tady nám to odpovídá, protože 8
minus pět, to je tři, na druhou je 9, 7 minus 4, to je 3, na druhou je také 9, takže to je odmocnina z 9 plus 9. Můžeme si napsat odmocnina z osmnácti, ale
když bychom to chtěli částečně odmocnit, tak se nám bude spíš hodit odmocnina z
2 krát 9. Tak devítku odmocníme a zbudou nám tři
odmocniny ze dvou, takže to je vzdálenost Klářina kouzelníka od poskoka A. Je tam
vzdálenost menší nebo větší než 6? 6 je 3 krát 2. A tohle je 3 krát odmocnina ze dvou a odmocnina
ze dvou je rozhodně menší než 2. Takže toto celé bude menší než 6, tudíž
poskoka A Klára jednoduše svým kouzlem zasáhne. Tak. Co poskok B? Co vzdálenost
bodu K a B? Úplně obdobným způsobem, změna x-ových souřadnic. 2 minus 5, to celé na
druhou plus minus jedna minus 4, to celé na druhou. Tady dostaneme minus 3 na druhou,
to je 9, plus minus jedna minus čtyři je minus pět na druhou, to je 25, a to je tedy
odmocnina z třiceti čtyř. Zase, je to menší nebo větší než 6? No, my víme, že 6 je vlastně odmocnina ze
třiceti šesti, takže odmocnina ze třiceti čtyř je rozhodně menší než odmocnina ze
třiceti šesti. Takže tedy menší než 6. Takže i poskoka B se Kláře podaří
zasáhnout, jelikož vzdálenost mezi těmi dvěma body je menší než 6. Poslední, poskok C, tedy vzdálenost bodů K a C.
Už opět zase obdobně 9 minus 5, to celé na druhou plus 0 minus čtyři to celé na
druhou. Pořád děláme jedno a to samé. 9 minus 5 je 4, na
druhu je 16, plus 0 minus 4, to je minus čtyři, na druhou, to je také 16, takže to je
odmocnina z třiceti dvou, což vidíme, že je rozhodně menší číslo ještě než 34. A když už 34 je menší než 6, tak logicky i
32 bude menší než 6. Takže i poskoka C se Kláře podaří
zasáhnout. Klářinu kouzelníkovi se podaří zasáhnout těmi kouzly všechny tři ty
poskoky A, B i C. Jelikož všichni se nacházejí v dosahu
šesti metrů od toho Klářina kouzelníka. Kdybychom se chtěli ještě podívat, který z
nich je nejdál a nejblíž, vidíme, že nejblíže je rozhodně poskok A, odmocnina z osmnácti
a nejdál je poskok B, odmocnina ze třiceti čtyř. To ale není důležité. Důležité je, že se tedy Kláře podaří
zasáhnout všechny tři poskoky.