Obsah a obvod lichoběžníku v soustavě souřadnic

Už jsme se naučili v soustavě souřadnic počítat vzdálenosti bodů, a dokonce i středů úseček. V tomto videu se podíváme na geometrické útvary zakreslené v soustavě souřadnic. Konkrétně bude naším úkolem zjistit obsah a obvod tohoto lichoběžníku, který tady máme nakreslený. Je to lichoběžník CLWO. Společně s nákresem máme zadané i jednotlivé vrcholy lichoběžníku C[-4; -1] L[8; -5] W[4; 8] O[-2; 5] Navíc tu máme ještě zadán bod N, který je patou výšky lichoběžníku. To není úplně obvyklé, ale může nám to dost usnadnit práci. Záleží na přístupu, který zvolíme. Pojďme tedy začít obsahem lichoběžníku. Vzoreček pro obsah lichoběžníku známe. Je to vlastně aritmetický průměr základen lichoběžníku krát jeho výška. Neboli S=(a+c)/2 krát v. Pokud bychom chtěli využít tento vzoreček pro výpočet obsahu, Museli bychom znát jak délku základny a, tak délku základny c a také výšku. Protože máme zadán i bod N, tak výšku půjde spočítat poměrně jednoduše. Pokud bychom ale bod N zadaný neměli a přesto bychom tento vzoreček chtěli použít, bude potřeba souřadnice bodu N najít. Pokud umíte určit rovnici přímky a víte, co je to směrnice, půjde to poměrně jednoduše. Určili byste si rovnici přímky CL, pak byste si určili rovnici přímky WN, která je kolmá na přímku CL, a pak byste tyto dvě přímky dali dohromady tak, že vyřešíte soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Tak by to bylo potřeba udělat, pokud bychom neznali souřadnice bodu N, a nebo si naše souřadnice, které si vyčteme od oka z obrázku, chtěli ověřit. Protože nás ale v tomto příkladu zajímají především vzdálenosti bodů v soustavě souřadnic, pro zjednodušení jsme bod N dostali rovnou zadán. Pojďme teď již na výpočet obsahu pomocí vzorečku. Základna a bude vzdálenost bodů C a L. Neboli délka úsečky CL. Jak bychom si vzdálenost bodů CL spočetli? Půjdeme na to pomocí pravoúhlého trojúhelníku, který nám řekne změnu x-ových souřadnic a změnu y-ových souřadnic. Na tomto pravoúhlém trojúhelníku bude dobře vidět, o kolik se musím posunout doprava a o kolik nahoru. A vzdálenost bodu CL už bude pak o použití Pythagorovy věty, protože budu znát délky dvou odvěsen a přeponu si pomocí nich dopočítám. Takže jaká je změna x? Změna x-ových souřadnic. Je to x-ová souřadnice koncového bodu, tedy 8, minus x-ová souřadnice počátečního bodu tedy -4. Neboli 8-(-4), pozor na znaménka, 8 minus minus 4 je 8+4, tedy 12. Jaká je změna y? O kolik musím jít nahoru? Začínáme na y-ové souřadnici -1 a musíme se dostat na y-ovou souřadnici 5. Tedy dohromady musíme jít o 6 nahoru. Delta y je 6. A teď už přijde aplikace Pythagorovy věty. Naše základna a bude druhou odmocninou součtu druhých mocnin odvěsen. Takže odmocnina z 12 na druhou plus 6 na druhou. 12 na druhou je 144, 6 na druhou je 36, dohromady odmocnina ze 180. Odmocninu ze 180 lze určitě částečně odmocnit. 180 si můžu napsat jako 6 krát 6 krát 5. Což bude 6 odmocnin z 5. Podobně teď můžeme jít a spočítat délku základny c. Délka základny c bude vzdálenost bodů O a W. Pro výpočet vzdálenosti těchto bodů nám opět pomůže pravoúhlý trojúhelník. Delta x je 4-(-2), tedy 6. Delta y je 8-5, tedy 3 a sedí to. Z bodu O do bodu W musíme jít 3 jednotky nahoru a 6 jednotek doprava. Vzdálenost bodů O a W tedy můžeme spočítat jako odmocnina z 6 na druhou plus odmocnina ze 3 na druhou. 6 na druhou je 36, 3 na druhou je 9, dohromady 45. To celé bude odmocnina ze 45. 9 je druhá mocnina 3, takže můžeme částečně odmocnit na 3 odmocniny z pěti. A nakonec tu máme délku výšky. Výška je vzdálenost bodů W a N. Opět nám pomůže pravoúhlý trojúhelník. Pokud půjdeme z bodu W do bodu N, tak musíme jít o 4 jednotky dolů, tedy delta y bude -4. A pak musíme jít o 2 jednotky doprava. Delta x bude 2. S použitím Pythagorovy věty máme výšku, která se rovná odmocnině z minus čtyři na druhou plus 2 na druhou. Minus 4 na druhou je šestnáct, plus 2 na druhou je 4, takže dohromady odmocnina z 20. 20 je 4 krát 5. Tedy opět můžeme částečně odmocnit na 2 odmocniny z pěti. Pokud bychom tedy dosadili do vzorce, máme obsah lichoběžníku, který se rovná a + c, tedy 6 odmocnin z 5 plus 3 odmocniny z 5, lomeno 2 krát výška. Lomeno 2 odmocniny z 5. Dvojky se nám pěkně pokrátí a zbyde 6 odmocnin z 5 + 3 odmocniny z 5. To je dohromady 9 odmocnin z 5, krát odmocnina z 5. Odmocnina z 5 krát odmocnina z 5 je 5. Tedy 9 krát 5. Výsledek je 45. Obsah nám vyšel pěkně celočíselně, ale je to vlastně spíš shoda náhod než cokoli jiného. Mohli byste si proto říkat, jestli neexistuje nějaký jednodušší způsob, než se trápit dopočítáváním základen a dopočítáváním výšek. Mohli bychom raději spočítat obsah jednoho velkého obdélníku, a pak z něho postupně odřezávat, ukusovat to, co do lichoběžníku nepatří. Hned vám ukážu, jak to myslím. Načrtneme si takový obdélník, který nám hezky pokryje celý lichoběžník, ale půjde z něj ukusovat jednotlivé trojúhelníky, nebo dokonce odbélníky či čtverce. To nám pěkně bude splňovat tento obdélník. Jeho jednotlivé vrcholy si pojmenujeme, takže A1, A2, A3 a A4 už nemusíme, tam máme vrchol C. Obsah lichoběžníku by tedy byl obsah obdélníku CA1A2A3 minus... a teď budeme osekávat, co do lichoběžníku z tohoto obdélníku nepatří. Nepatří tam například tento trojúhelník. Tedy trojúhelník CA1L. Nepatří tam ani tento pravoúhlý trojúhelník, tedy trojúhelník LA2W. A ještě si musíme pohrát s tímto zbytkem. Ten bych mohla dobře rozdělit na tento pravoúhlý trojúhelník. Udělám si tu ještě pomocný bod A4. To je tedy trojúhelník WA4O. Pak na tento obdélník, zase si tu udělám pomocný bod A5. Obdélník A5OA4A3. A nakonec tu mám ještě pravoúhlý trojúhelník COA5. Tímto způsobem tedy můžu přijít na obsah lichoběžníku CLWO. A můžeme teď postupně počítat. Obsah celého obdélníku CA1A2A3 je délka strany CA1 krát délka strany A1A2. Zleva k nule je to 4, od nuly doprava je to 8, 4 + 8 je 12. Od bodu A1 k bodu A2 je to jedna jednotka k ose x a pak 8 nahoru. Dohromady 9. 12 krát 9. A teď jdeme postupně odčítat. Jaký je obsah trojúhelníku CA1L? Je to strana krát výška lomeno dvěma. Tedy 12 krát výška, to je délka strany A1L. Tedy 6 lomeno dvěma. Dál tu máme trojúhelník LA2W Strana je 4, výška 3. 4 krát 3 lomeno 2. Dál tu máme trojúhelník WA4O. Takže strana A4W má délku 6 a výška trojúhelníku je 3. Tedy 6 krát 3 lomeno dvěma. Dál tu máme obdélník A5OA4A3. Ten má strany 2 a 3. Tedy 2 krát 3. A nakonec trojúhelník COA5. Ten má stranu 2, výšku 6, takže 2 krát 6 lomeno dvěma. A to je vše. Teď si to můžeme nasčítat. 12 krát 9 je 108. Minus 12 krát 6 lomeno 2. 12 si vykrátím se 2, dostanu 6 krát 6, to je 36. 4 krát 3 lomeno dvěma, 4 si vykrátím 2. Zase mám 2 krát 3, to je 6. 6 krát 3 lomeno dvěma, vykrátím si šestku 2, zbyde mi 3. Mám tedy 3 krát 3, což je 9. Minus 2 krát 3. To je minus 6. A nakonec minus 2 krát 6 lomeno 2, zase se mi vykrátí dvojka, takže máme 6. 108 - 36 je 72, minus 6 je 66. Minus 9 je 57 a minus 12 je 45. Takže vidíte, že tímto způsobem nám vyšel stejný obsah. Akorát postup byl podstatně jednodušší bez odmocnin. A slíbili jsme si, že si spočteme ještě obvod. Tak rychle na to. Před chvilkou jsme si spočetli, že délka strany CL je 6 odmocnin z 5. A že délka strany OW jsou 3 odmocniny z 5. Takže teď nám akorát zbývá zjisti délku strany WL a CO. Tak nejprve jdeme na WL. Pravoúhlý trojúhelník už tu mám pěkně nakreslený. Takže když jdu z bodu W do bodu L jdu doprava, změna x je o 4. A musím jít dolů o 3, takže změna y je minus 3. Pythagorovou větou máme odmocninu ze 4 na druhou plus minus 3 na druhou. To je odmocnina z 16 plus 9, celkem tedy z 25 a 25 je krásná mocnina pětky, odmocníme tedy na 5. A nakonec nám tu zbývá vzdálenost bodů CO, délka strany CO. Z C do bodu O jdeme 6 jednotek nahoru. Tedy delta y je 6. A jdeme 2 jednotky doprava, takže delta x je 2. S použitím Pythagorovy věty máme odmocninu z 6 na druhou plus 2 na druhou. 6 na druhou je 36, 2 na druhou je 4, dohromady odmocnina ze 40. Což je 4 krát odmocnina z 10, můžu částečně odmocnit na 2 odmocniny z 10. Obvod lichoběžníku CLWO je tedy 6 odmocnin z 5 plus 3 odmocniny z pěti plus 5 plus 2 odmocniny z 10. Dohromady tedy 5 plus 9 odmocnin z 5 plus 2 odmocniny z 10. To je konečný výsledek a více už to zjednodušit nemůžeme. V tomto videu jsme si ukázali 2 způsoby spočtení obsahu lichoběžníku a jeden způsob vypočtení obvodu lichoběžníku. Protože jsme měli zadán i bod N, patu výšku, mohli jsme použít standardní vzoreček pro výpočet lichoběžníku a plus c lomeno dvěma krát výška. Nakonec se ukázalo jako jednodušší a elegantnější spočíst obsah tohoto velkého obdélníku a postupně od něj odčítat to, co do lichoběžníku nepatří. Pro výpočet délek jednotlivých stran jsme použili Pythagorovu větu.