Směrnice rovnoběžných přímek

Dneska bych vám ráda dokázala, že rovnoběžky mají stejné směrnice. Máme tedy 2 přímky a budeme předpokládat, že jsou to rovnoběžky. Načrtneme si 2 příčky. Jednu vodorovnou a jednu svislou. A budeme tedy předpokládat, i když je to jenom načrtnuté, že tyto dvě příčky svírají mezi sebou pravý úhel. Teď si ještě pojmenujeme body. Tady máme bod A, tady B, tady C, tady D a tady uprostřed bude E. A my teď využijeme tu situaci, kdy máme 2 rovnoběžky proťaté příčkami a nějaké vlastnosti úhlů, které už známe, a vlastnosti trojúhelníku a pomocí toho všeho se dopracujeme k těm směrnicím. Takže my hned vidíme, že úhel CED je shodný s úhlem AEB, poněvadž jsou to tady všechno pravé úhly. Tak to je jednoduché. Potom se můžeme podívat tady. I tady máme nějaký úhel. A my víme, že stejný úhel bude i tady. Jelikož máme dvě rovnoběžky proťaté příčkou, tohle to jsou souhlasné úhly. To už známe. A potom také víme, že tyto dva úhly jsou stejné, poněvadž jsou to úhly vrcholové. Ty jsou také shodné, ty mají také stejnou velikost. No a tím pádem jsou shodné i tyto dva. Těm říkáme střídavé úhly, ty mají také stejnou velikost, takže tento úhel je shodný s tímto úhlem. Úhel ABE je shodný s úhlem ECD. A teď tedy vidíme, že tu máme dva trojúhelníky, které mají dva shodné úhly. Tento úhel je shodný s tímto úhlem, tento úhel je shodný s tímto úhlem. A to už by vám mohlo něco napovědět. Máme-li v trojúhelníku dva shodné úhly, je jasné, že ty třetí úhly se budou také shodovat. Dává to smysl. Součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů, tak nám zbývá stejný úhel u obou. A my tedy můžeme napsat, když víme, že mají tři stejné úhly, tak tedy že trojúhelník AEB je podobný trojúhelníku, a teď to musíme správně napsat, máme AEB, takže to bude DEC, takže trojúhelník AEB je podobný trojúhelníku DEC. Podobnost trojúhelníku, to už známe. Ještě si můžeme napsat, že jsme to zjistili na základě věty o shodnosti úhlů, na základě UU, tedy toho, že mají dva shodné úhly. Co ještě víme o trojúhelnících, které jsou podobné. Víme ještě to, že poměry délek odpovídajících stran jsou také shodné. Když si třeba napíšu, poměr strany BE ku AE v tom jednom trojúhelníku by se tedy měl rovnat poměru odpovídajících stran v tom druhém trojúhelníku, tedy CE ku DE. S tím určitě souhlasíte. To dává smysl. A teď se pojďme podívat, co vlastně vyjadřuje tento poměr, ten poměr stran BE ku AE nebo bE děleno AE. Toto je vlastně směrnice přímky procházející těmi body A a B. Protože tohle je vlastně naše změna x a tohle naše změna y mezi body A a B. Jdu z bodu A do bodu B, toto je má změna x a toto je má změna y. Takže BE je moje změna y, AE je moje změna x. A delta y děleno delta x, to je přesně vzoreček pro výpočet směrnice. A toto bude směrnice přímky procházející body C a D. A proč? Zase se podíváme, CE je vlastně naše změna y a DE nebo ED, je jedno, jak to vidíte, je naše změna x. Takže tady máme zase změnu y děleno změnou x. Takže to je směrnice té přímky procházející body C a D. A my jsme si před chvilkou řekli, že tyto dva poměry se přece rovnají. Tato směrnice je stejná jako tato směrnice, takže se nám podařilo pomocí vlastností úhlů trojúhelníků a rovnoběžek dokázat, že směrnice této přímky je shodná se směrnicí této přímky, tedy že dvě rovnoběžky mají stejnou směrnici.