Směrnice kolmých přímek

Dnes bych vám ráda dokázala jednu vlastnost směrnic kolmých přímek. Tedy to, že když máme 2 kolmé přímky, tak směrnice jedné té přímky je zápornou převrácenou hodnotou směrnice té druhé přímky. Tak pojďme na to. Máme tady přímky m a n, které jsou navzájem kolmé. Svírají mezi sebou pravý úhel. Já tu teď dokreslím nějaké další přímky. Nakreslíme si vodorovnou přímku, která bude protínat ty 2 přímky v jejich průsečíku v nějakém... můžeme to nazvat... v bodě A, vodorovná přímka. A ještě si tady nakreslím dvě nějaké svislé, tady, takže vodorovná a svislé. Takže tady budou pravé úhly. Ještě si dopopíšu body, tady bude nějaký třeba bod B, a C, tady bod D a E. Pojďme se tedy zaměřit na ty směrnice, o kterých jsem mluvila na začátku. Jaká bude směrnice přímky m? Přímku m také můžeme pojmenovat jako přímku CA, poněvadž prochází těmi dvěma body. Takže směrnice m, neboli také přímky CA bude tedy: podíváme se na CA, na nějakou tu změnu y a x mezi nimi, jak jsme zvyklí to počítat. Změna y mezi body C a A bude jaká? Když se na to podíváme tady, tak to bude délka úsečky CB. Tady tato úsečka. Délka této úsečky je tedy změna y mezi body C a A. Takže tady to bude CB. A jaká je změna x, kterou ještě potřebujeme k dopočítání směrnice mezi body C a A? Délka úsečky BA. Takže CB lomeno BA. Jaká bude směrnice přímky n? Směrnice přímky n, přímku n také můžeme pojmenovat jako přímku AE, poněvadž těmito dvěma body prochází, takže přímka AE. Zase směrnice je změna y ku změně x a ty najdeme kde v tomto obrázku, ty údaje? Změna y bude tady délka úsečky DE. Mohli bychom si to nakreslit i tady. Ale pozor, nemůžeme napsat jenom DE, protože jdeme z bodu A do bodu E a jdeme tedy směrem do minusů u y, takže tady musí být minus DE. A jaká bude naše změna x mezi body A a E? Změna x bude délka úsečky AD, tady. Takže minus DE lomeno AD. Vás už teď možná něco napadlo, když jsem to tady začala tak hezky barevně zvýrazňovat. My si teď dokážeme, že tyto dva trojúhelníky jsou si podobné a z toho už potom odvodíme informaci o těch směrnicích. Pojďme se na to podívat. Tady v tomto trojúhelníku máme nějaký úhel, k dejme tomu alfa. A tady je nějaký úhel. Třeba beta. Vidíme, že alfa plus beta plus tento pravý úhel nám dohromady dávají přímý úhel, tedy 180°. Můžeme si to tady zapsat. alfa plus 90 plus beta se rovná 180. Kdybych si odečetla 90 od obou stran, tak bych dostala alfa + beta = 90 Tohle to vyjadřuje stejnou informaci. Pojďme se podívat na tento trojúhelník. Známe tento úhel a známe tento úhel. Neznáme velikost tohoto úhlu, ale víme, že součet všech úhlů trojúhelníku musí být vždy sto osmdesát, takže alfa plus 90 plus nějaký úhel musí být 180. Ale to máme přesně tady. Alfa plus 90 plus nějaký úhel má být 180, takže tady tento úhel je vlastně úhel velikosti beta , jako tady. Pojďme se podívat na tento trojúhelník. Máme tady úhel 90 a beta a víme, že tedy 90 plus beta plus nějaký úhel se má zase rovnat 180. 90 plus beta plus nějaký úhel se má rovnat 180. Takže hned vidíme, že tento úhel je úhel o velikosti úhlu alfa . A teď jsme se k něčemu dostali. Vidíme, že tyto dva trojúhelníky mají tři úhly, které jsou shodné: alfa, beta a pravý úhel. Takže můžeme říct, že tyto dva trojúhelníky jsou si podobné, a tedy že trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku, a teď ať to napíšeme správně, ABC, EDA. Trojúhelníku EDA. A můžeme ještě dopsat, podle věty, takzvané věty UU, věty která říká, že když máme dva shodné úhly, tak se jedná o podobné trojúhelníky. A co nám vlastně z té podobnosti těchto dvou trojúhelníků ještě vyplývá? Vyplývá nám z toho také to, že poměry odpovídajících stran budou u těchto trojúhelníků stejné, takže to můžeme využít a napsat si, že, vezmeme si tuto a tuto stranu, že tedy poměr stran CB ku straně BA bude tedy shodný s jakým poměrem stran u toho druhého trojúhelníku? Strana CB je strana naproti úhlu alfa. Naproti úhlu alfa je strana AD a strana BA je naproti úhlu beta , takže to je strana DE. CB děleno BA, co je tohle za hodnotu? Pojďme se podívat tady nahoru, ano, CB děleno BA je směrnice přímky m. To už jsme si tady na začátku spočítali. A jak se tato hodnota vztahuje ke směrnici přímky n? Tady máme AD děleno DE. Tady máme minus DE děleno AD. Takže vidíme, že to je za prvé převrácená hodnota. A zadruhé, díky tomu jinému znaménku tedy ještě i opačná. Takže toto je opačná hodnota k převrácené hodnotě směrnice n. A máme vlastně hotovo. Jelikož tyto dva poměry se rovnají, tak tady máme hodnotu směrnice m a tedy máme opačnou hodnotu k převrácené hodnotě směrnice n, takže pomocí vlastností úhlů podobnosti trojúhelníků jsme dokázali, že máme-li dvě kolmé přímky, tak směrnice té jedné je opačnou hodnotou k převrácené hodnotě směrnice té druhé.