Kolmice a jejich rovnice

Které z těchto přímek jsou na sebe kolmé? Máme tady tři přímky zadané nějakými rovnicemi. A ptají se nás, které z nich jsou na sebe kolmé. Jaké vlastnosti mají kolmé přímky? Máme jednu přímku a pak máme druhou přímku, která protíná tu první, ale neprotíná ji v uvozovkách "jen tak", ale svírá s ní pravý úhel. Tedy je teda vlastně tady všude, takto. Takže jsou to dvě přímky, které se protínají a svírají pravý úhel, 90 stupňů. A ještě si povíme jednu užitečnou věc, která nám pomůže k určování, které přímky jsou na sebe kolmé. Pokud má tato přímka rovnici dejme tomu obecně zadanou jako y se rovná kx plus nějaké q1, nějaký průsečík s osou y, tak ta druhá přímka, ta kolmá na tu první, bude mít rovnici ve tvaru y se rovná minus jedna lomeno k x plus nějaké q2. K je tady směrnice té přímky, a když se na to podíváme, tak vidíme, že přímky na sebe kolmé mají směrnice, které jsou převrácenou hodnotou té druhé plus ještě s opačným znaménkem. Toto je tedy zápornou převrácenou hodnotou té první směrnice. Neboli, chceme to říct ještě jinak, když se podíváme na ty dvě směrnice. Když vezmeme jejich součin, tak jejich součin je roven minus jedné. Můžeme si to tady ověřit. K krát minus jedna lomeno k je rovno, tohle se nám vykrátí, a zbyde nám minus jedna. Takže tohle to jsou důležité vlastnosti směrnic kolmých přímek. A když už tohle víme, tak už jednoduše vyřešíme tento příklad. Pojďme na přímku a. Přímka a je zadaná jako y se rovná tři x minus jedna. Tak tu už máme rovnou v tom směrnicovém tvaru a vidíme, že směrnice je tedy rovna 3. To je jednoduché. Přímka b je zadaná jako x plus 3y se rovná minus dvacet jedna. Osamostatníme si y, takže odečteme x od obou stran, 3y se rovná minus x minus dvacet jedna, vydělíme třemi a dostaneme tedy y se rovná minus x děleno třemi nebo také minus jedna třetina x, to je stejné, minus 7. Takže tady vidíme, že směrnice je rovna minus jedna třetina. Pojďme se teď podívat na ty dvě směrnice těchto dvou přímek. Tady je rovna 3 a tady je rovna minus jedna třetina, což je převrácená hodnota trojky, a ještě navíc s opačným znaménkem, což je přesně to, co my potřebujeme. Takže tyto dvě přímky jsou rozhodně na sebe kolmé, a a b jsou na sebe kolmé. Pojďme se teď podívat na poslední přímku, ještě na přímku c, jestli nám ještě nějak nezasáhne do naší odpovědi. Přímka c, 3x plus y se rovná 10. Jenom si osamostatním y nalevo, odečtu 3x od obou stran, y se rovná minus 3x plus 10. Takže tady je směrnice rovna minus 3. Pojďme se podívat na ty dvě přímky nahoře. Tady je směrnice rovna 3 a minus 3, to je tedy sice hodnota s opačným znaménkem, ale ne převrácená. A tady máme minus jedna třetina a minus tři, což tedy jsou převrácené hodnoty, ale nemají opačné znaménko, takže přímka c není kolmá ani na přímku b ani na přímku a a jedinou správnou odpovědí tedy zůstává dvojice přímek a a b.