Průsečíky přímek odvozené z rovnic

V tomto videu si ukážeme, jak spočítat průsečík dvou přímek zadaných rovnicí. Nejprve se ale podívejme na to, kolik průsečíků vůbec přímky mohou mít. První možností je, že budeme mít dvě různé rovnoběžky. A tak si nějaké takové nakresleme. Z videa o rovnoběžkách a kolmicích víme, že rovnoběžky jsou takové přímky, které se nikdy neprotnou a tudíž nemají žádný společný průsečík. Druhou možností jsou stejné přímky, nebo můžeme také říct stejné různoběžky. Jak už jejich název napovídá, tak stejné přímky vypadají úplně stejně. Jelikož vypadají úplně stejně, tak mají nekonečně mnoho průsečíků. Například tento bod A leží jak na červené, tak na modré přímce, tento bode B leží také jak na červené, tak na modré přímce, stejně tak tento bod C, bod D, tento bod E a tak dále. Mohli bychom najít takových bodů nekonečně mnoho. Tedy stejné přímky mají nekonečně mnoho průsečíků. Poslední možností, která může nastat, jsou různoběžky. Z předchozích videí už víme, že různoběžky jsou přímo definované jako dvě přímky, které se protínají v jednom bodě. A tedy tyto přímky mají jeden společný průsečík. A nyní už se podívejme na nějaký konkrétní příklad. Jako první určíme průsečík přímek daných rovnicemi 2x - 3y + 5 = 0 a -3x + 4y - 6 = 0 Všimněme si, že obě to jsou rovnice v obecném tvaru. Připomeňme, že průsečík přímek je bod, který leží na obou přímkách zároveň. Má-li bod ležet na první přímce, tak jeho souřadnice [x, y] musí splňovat rovnici 2x - 3y + 5 = 0, protože taková je rovnice první přímky. Jelikož jde ale o průsečík obou přímek, tak musí ležet i na druhé přímce. A tedy splňuje i její rovnici, která je -3x + 4y - 6 = 0. Naším úkolem tedy není nic jiného, než vyřešit soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých. Tuto soustavu můžeme vyřešit například eliminační metodou, kterou už známe z předchozích videí. Eliminační metoda spočívá v tom, že obě rovnice vynásobíme nějakých vhodným nenulových číslem, abychom u jedné z proměnných dostali stejný koeficient, ale s opačným znaménkem. Zkusme se například zbavit proměnné x. Za tím účelem vynásobíme první rovnici třemi a druhou rovnici dvěma. Tím dostaneme novou soustavu, jejíž první rovnice bude 6x - 9y + 15 = 0 a jejíž druhá rovnice bude -6x + 8y -12 = 0. Nyní obě rovnice sečteme. Všimněme si, že koeficienty u x jsme si schválně připravili tak, aby se nám vynulovaly, protože 6x - 6x je nula. Když sečteme koeficienty u y, dostaneme, že -9y + 8y je -y, pak zbývá sečíst samotná čísla, a to 15 - 12, a to je plus 3. Na druhé straně máme 0 + 0, to je nula. Teď už jen k oběma stranám rovnice přičteme y a dostaneme, že y = 3. Spočítanou hodnotu y nyní dosadíme do některé z původních rovnic a dostaneme rovnici pro x. Dosaďme například do první rovnice. Tedy do rovnice 2x - 3y + 5 = 0. Když za y dosadíme 3, dostaneme rovnici 2 krát -3 krát 3 plus 5 = 0, což se nám zjednoduší na 2x - 9 + 5 = 0. Protože -9 + 5 je -4, tak se nám rovnice zjednoduší na 2x - 4 = 0. A když k oběma stranám rovnice přičteme 4, dostaneme, že 2x = 4. Nyní už jen vydělíme dvěma a vyjde nám, že x = 2. Zadané přímky mají tedy jeden průsečík a je to bod s x-ovou souřadnicí 2 a s y-ovou souřadnicí 3. Zadané přímky jsou různoběžky, které se protínají právě v jednom bodě, a tímto bodem je bod [2, 3]. Jako druhý příklad spočítáme průsečík přímek daných rovnicemi -4x - 2y + 1 = 0 a y = -2 + 3. To opět znamená, že musíme vyřešit soustavu dvou lineárních rovnic. A to soustavu -4x - 2y + 1 = 0 a y = -2 + 3. Abychom mohli opět použít eliminační metodu, přepíšeme nejprve rovnici druhé přímky ze směrnicového do obecného tvaru. To obnáší pouze to, že členy -2x a 3 přehodíme na druhou stranu rovnice, a tím pádem u nich musíme změnit znaménko. Dostaneme tak 2x + y - 3= 0 a -4x - 2y + 1= 0. Když nyní první rovnici vynásobíme dvěma a tu druhou necháme být, tak bude koeficient u x v první rovnici 4 a ve druhé rovnici -4. Což je přesně to, co chceme pro použití eliminační metody. Tak to udělejme. Vynásobíme první rovnici dvěma a dostaneme soustavu 4x + 2y - 6 = 0 a -4x - 2y + 1 = 0 Teď už můžeme rovnici sečíst. Když tak uděláme, dostaneme 4x - 4x a to je nula, 2y - 2y, to je také 0 a -6 plus 1 je -5. Na pravé straně pak máme 0 + 0 a to je 0. Celkem tak dostáváme, že -5 = 0 Jak ale asi všichni víme, -5 se ve skutečnosti nule nerovná. Pokud se nám při řešení soustavy rovnic stane přesně to, že získáme nějaké tvrzení, které zjevně není pravda, tak to znamená, že daná soustava nemá žádné řešení. No a protože tato soustava nemá žádné řešení, tak neexistuje ani bod, který by splňoval obě rovnice, a tím pádem neexistuje žádný průsečík daných přímek. Zadané přímky tedy nemají ani jeden průsečík. Z toho plyne, že se jedná o 2 různé rovnoběžky. Jako poslední příklad se podíváme na průsečík přímek daných rovnicemi -x+y-2=0 a 3x-3y+6=0. To opět znamená, že musíme vyřešit soustavu lineárních rovnic,, a to soustavu -x+y-2=0 a 3x-3y+6=0. Opět budeme chtít použít eliminační metodu a tak první rovnici vynásobíme třemi, poněvadž potom bude koeficient u x -3 a ve druhé rovnici to bude naopak plus 3. Dostaneme tedy soustavu -3x+3y-6=0 a 3x-3y+6=0. Když nyní obě rovnice sečteme, dostaneme, že -3x+3x je 0, 3y minus 3y je také 0 a -6 plus 6 je také nula: Takže na levé straně bude 0. Na pravé straně pak máme 0 + 0 a to je také 0. Celkem tak dostaneme, že 0 = 0. Pokud nám po použití eliminační metody vyjde, že 0 = 0, tak to znamená, že původní soustava se sice tváří jako soustava dvou různých rovnic, ale ve skutečnosti je to jedna rovnice, akorát zapsaná dvěma různými způsoby. Všimněme si, že když první rovnici -x+y-2=0 necháme tak, jak je, a druhou rovnici 3x-3y+6=0 vydělíme -3, tak dostaneme zase první rovnici. Tedy dostaneme -x+y-2=0 To znamená, že i přímky určené zadanými rovnicemi jsou zcela stejné, a tedy mají nekonečně mnoho průsečíků. Konkrétně se jedná o všechny body ležící na této dvojité přímce, neboli o všechny body ležící na přímce dané rovnicí -x+y-2=0. Tuto rovnici nyní můžeme upravit do směrnicového tvaru tak, že všechno, co není y, přehodíme na pravou stranu. Tím dostaneme rovnici y=x+2. Každý bod ležící na této přímce tedy musí splňovat, že jeho y-ová souřadnice se rovná x+2. Všechny průsečíky se pak matematicky správně zapíší jako množina bodů [x; x+2], kde x je libovolné reálné číslo. Nejde ale o nic jiného, než o matematické zapsání toho, že hledanými průsečíky jsou úplně všechny body ležící na přímce - x+y-2=0