If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:9:39

Transkript

V tomto videu se podíváme na vzorec pro výpočet vzdálenosti mezi body v soustavě souřadnic. Tedy nás bude zajímat vzdálenost mezi dvěma body. A jak si ukážeme, bude to vlastně jednoduchá aplikace Pythagorovy věty. Abychom si to měli na čem ukázat, tak jsem tady do soustavy souřadnic nakreslila dva body. Jeden je bod [3; -4] a druhý je [6; 0]. A zajímat nás bude vzdálenost mezi těmito dvěma body. Ta vypadá zhruba takhle. A teď, když jsem říkala, že budeme používa Pythagorovu větu, tak se možná budete ptát: A tady je nějaký pravoúhlý trojúhelník? Odpověď bude znít ano, je. Nakreslím si ho, bude vypadat přesně takhle. Vidíte, že tady je pravý úhel a vznikl nám trojúhelník se dvěma odvěsnami a jednou přeponou. A přepona je přesně ta naše vzdálenost, která nás zajímá. Pokud tedy známe délky odvěsen, tak jednoduše můžeme spočítat přeponu, neboli tu vzdálenost mezi dvěma body. Napíšu si to sem. Naše vzdálenost je vlastně přepona. Přepona tohoto pravoúhlého trojúhelníku. No a já si ten trojúhelník teď tady překreslím, aby byl trochu ve větším. Tady bude spodní strana, jedna odvěsna. Tady bude druhá strana napravo, druhá odvěsna. A tady bude přepona. A délka této přepony mě bude zajímat. Označím si ji jako d. Teď chci vědět délku těchto dvou odvěsen. A mohla bych si ji tady v soustavě souřadnic dokonce spočítat, ale my to radši budeme dělat pomocí souřadnic. Vidíme, že tento třetí bod, ten má souřadnice [6; -4]. Takže teď už vidíme, že pokud se hýbeme z tohoto červeného bodu do fialového, tak se hýbeme vlastně jenom ve směru x. Mění se jenom x-ová souřadnice. A o kolik se mění? Mění se o šest minus tři. Takže píšu 6 - 3; Koncový bod minus počáteční bod Samozřejmě x-ové souřadnice koncového a počátečního bodu. Šest minus tři je tři. A to je tedy naše změna v x. Změnu x značíme jako delta x. No a podobně to bude fungovat tady u toho odvěsny. Tam se nehýbeme po směru x, ale hýbeme se jenom ve směru y. Takže y-ová souřadnice se nám mění. Z minus čtyřky na nulu. Podobným způsobem si tedy můžu spočítat deltu y, změnu v y, která bude koncový bod, 0 minus počáteční bod, minus minus 4. 0 - (-4) je nula plus čtyři. Takže výsledek bude 4. A vidíte, že to opravdu odpovídá. Tato strana je dlouhá 4. Může vás napadnou otázka, co by se stalo, kdybych ty souřadnice odčítala opačně? Kdybych udělala 3 - 6 a nebo - 4- 0 V obou případech by mi vyšlo záporné číslo jako změna x nebo změna y. To vám může připadat jako něco jiného, ale vlastně to potom povede na stejný výsledek. Protože když za chvíli budeme mocnit, záporná čísla nám zmizí. Mocnina ze záporného čísla je totiž číslo kladné. Takže nám vzdálenost vyjde nakonec úplně stejná. A nemusíme řešit, který bod dáme jako první a který jako druhý. Teď už můžeme použít Pythagorovu větu. Známe dvě odvěsny a máme přeponu. Takže přeponu si spočítáme vzorečkem a^2 + b^2 = c^2 Tedy v našem případě c na druhou je d na druhou, přepona na druhou je d... a na druhé straně rovnice budeme mít a na druhou, což je vlastně delta x na druhou. Je to první odvěsna na druhou. No a v našem případě je délka odvěsny delta x. Takže máme delta x na druhou. Plus druhá odvěsna je delta y, takže máme deltu y na druhou. To zní možná trochu složitě, ale vlastně to jsou jenom čísla. Máme tedy d na druhou a za deltu x už si můžeme dosadit tři, tedy tři na druhou. A za deltu y už si dosazujeme 4, tedy čtyři na druhou. Nakonec tady máme d^2 to se rovná 9 + 16 tedy 25. No a když odmocníme, d se rovná odmocnině z 25, takže d se rovná 5. Vzdálenost mezi těmito dvěma body je tedy rovna 5. Teď jsme si to zkusili odvodit, ale formálně to v učebnici najdete napsané trochu jinak. Kdybychom měli nějaké 2 body, jeden by byl třeba [x1, y1] Měl by souřadnice [x1, y1], nějaká čísla. A druhý by měl souřadnice [x2, y2], potom vzoreček pro vzdálenost dvou bodů, který často najdete v učebnici, vypadá nějak takto. Bude to (x2 - x1)^2 plus (y2 - y1)^2 a to celé bude pod odmocninou. Vidíte v tom trochu tu Pythagorovu větu? Určitě ano. Protože tohle je vlastně delta x, x-ová souřadnice jednoho bodu minus x-ová souřadnice druhého bodu. A tady, to je vlastně delta y. Rozdíl y-ových souřadnic bodů. Celé to musí být pod odmocninou, protože tady jsem vlastně také odmocnila. Kdybych to měla umocnit zpátky, tak by to vypadalo asi takhle. Bylo by to d na druhou, teď by tady chyběla ta odmocnina, protože jsem umocnila obě dvě strany. A bylo by to vlastně naše známé delta x na druhou plus delta y na druhou. No a to už jsme viděli tady výše. Toto je vzoreček pro výpočet vzdálenosti dvou bodů. A jak vidíte, je hloupost si ho pamatovat nazpaměť. Je to totiž jen Pythagorova věta. Také nebude záležet na tom, jaký bod si zvolíme jako první bod a jaký bod si zvolíme jako druhý bod. Pokud mi tady v závorkách vyjde záporné číslo, pak se jednoduše umocní na druhou a už to záporné nebude. Nikdy mi proto tady pod odmocninou nevyjde záporné číslo. A teď si s pomocí tohoto vzorečku pojďme spočítat vzdálenost těchto dvou bodů. Máme tu body [-6; -4] a [1; 7] a chci spočítat tuto vzdálenost. Toto tedy bude bod 1 se souřadnicemi [-6; -4] A toto bude bod 2 se souřadnicemi [1; 7]. Vzdálenost budu počítat pomocí pravoúhlého trojúhelníku, který bude vypadat takhle. Nejdřív tedy budu řešit změnu x a potom budu řešit změnu y. Bude to rozfázované. Máme tedy d na druhou. Ta vzdálenost se bude rovnat rozdílu x-ových souřadnic těchto dvou bodů, což je jedna minus minus šest. Takže mám jedna minus minus šest a to celé bude na druhou. Protože to je délka této odvěsny. Je to změna v x. Plus. Budu řešit délku druhé odvěsny, což je změna v y. Takže mám sedm minus minus čtyři. Zase to bude na druhou, protože mám délku odvěsny na druhou. Takže přepona na druhou se bude rovnat délce jedné odvěsny na druhou plus délce druhé odvěsny na druhou. No a teď už jednoduše můžu počítat. Vzdálenost na druhou se bude rovnat 1 - (-6) je 7 na druhou. Plus 7 - (-4) je 11 na druhou Nebude to asi hezké číslo, ale když to zadáte do kalkulačky, vyjde vám d na druhou = 170 Když odmocníme vyjde nám tedy d = odmocnina ze 170, samozřejmě kladná, protože záporná vzdálenost, to je hloupost. No a to je něco jako 13,04 Vidíte tedy, že vzdálenost mezi těmito dvěma body je zhruba 13. No a snad jste i pochopili, proč vzoreček pro vzdálenost mezi dvěma body vypadá asi nějak takto. Je to vlastně jednoduše jen taková verze Pythagorovy věty.