Vzorec na výpočet středu úsečky

Souřadnice $\blueD{\text{středu}}$start color #11accd, start text, s, t, r, with, \v, on top, e, d, u, end text, end color #11accd úsečky s krajními body $[\greenD{x_1}; \goldD{y_1}]$open bracket, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, ;, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, close bracket a $[\greenD{x_2}; \goldD{y_2}]$open bracket, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, ;, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, close bracket vypadají následovně:

Nyní si tento vzorec odvodíme!

Začneme tím, že si body $[\greenD{x_1}; \goldD{y_1}]$open bracket, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, ;, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, close bracket a $[\greenD{x_2}; \goldD{y_2}]$open bracket, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, ;, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, close bracket zakreslíme do soustavy souřadnic.

$\blueD{\text{Střed}}$start color #11accd, start text, S, t, r, with, \v, on top, e, d, end text, end color #11accd úsečky spojující naše dva body je bod přesně na půli cesty mezi těmito body:

$x$x-ová souřadnice $\blueD{\text{středu}}$start color #11accd, start text, s, t, r, with, \v, on top, e, d, u, end text, end color #11accd je $\greenD{\dfrac{x_1+x_2}{2}}$start color #1fab54, start fraction, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54:

Obdobně $y$y-ová souřadnice $\blueD{\text{středu}}$start color #11accd, start text, s, t, r, with, \v, on top, e, d, u, end text, end color #11accd se rovná $\goldD{\goldD{\dfrac{y_1+y_2}{2}}}$start color #e07d10, start color #e07d10, start fraction, y, start subscript, 1, end subscript, plus, y, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, end color #e07d10, end color #e07d10:

A je to! Právě jsme odvodili vzorec pro $\blueD{\text{střed}}$start color #11accd, start text, s, t, r, with, \v, on top, e, d, end text, end color #11accd úsečky!

Je zajímavé, že spousta lidí se tento vzorec neučí nazpaměť, ale místo toho si zapamatují, že při výpočtu souřadnic středu úsečky spojující nějaké dva body je třeba spočítat aritmetický průměr $x$x-ových a aritmetický průměr $y$y-ových souřadnic daných dvou bodů.