Speciální součiny tvaru (x+a)(x-a)

Zamysleme se nad výpočtem výrazu (x plus 3) krát (x minus 3). A doporučuji vám pozastavit video, abyste si to mohli zkusit vypočítat. Jeden způsob, jak to udělat, je použít obvyklý způsob násobení dvojčlenů, tedy využít dvakrát distributivity. Takže nejdřív vezmeme celé tohle žluté (x plus 3) a vynásobíme je každým z těchto dvou členů. Nejdřív je vynásobíme tímhle x. Takže dostaneme x krát (x plus 3). A potom je vynásobíme -3. Takže napíšeme -3, a teď to budeme násobit opět tímto (x plus 3). A potom znova využijeme distributivity. Vezmeme tohle fialové x a distribuujeme je mezi toto (x plus 3), takže (x krát x) je x na 2, x krát 3 je 3x, a pak to uděláme ještě na této straně. -3 krát x je -3x a -3 krát 3 je -9. A na co se to zjednoduší? Dostaneme x na 2 a máme 3x a minus 3x, takže tyhle členy se nám vyruší a zbyde nám (x na 2) minus 9. A můžete si všimnout jedné zákonitosti, přičetl jsem 3 a pak jsem odečetl 3 a dostal jsem tohle, dostal jsem x na 2 a když pak vezmete 3 a vynásobíte je -3, tak dostanete -9. Vidíme, že se členy uprostřed vyrušily. Můžete se ptát: Bude to takhle vždycky, když přičítáme číslo a pak totéž číslo zase odečítáme? A to můžeme vyzkoušet. Podívejme se na to obecněji. Namísto (x plus 3) krát (x minus 3) můžeme psát stejný výraz, jenom místo toho budeme mít (x plus a) krát (x minus a). Doporučuji vám pozastavit toto video a vypočítat si to, stačí předpokládat, že ‚a‘ je nějaké číslo jako 3 nebo nějaké jiné číslo, a využijte dvakrát distributivity a uvidíte, co vám vyjde. Zkusme si to propracovat. Nejdříve distribuujeme tohle žluté (x plus a) mezi toto (x minus a). Takže (x plus a) krát x, nebo můžeme říct x krát (x plus a), to bude x krát (x plus a), a pak dostaneme -a krát (x plus a). Takže minus, budeme tu mít, tohle -a krát (x plus a). Všimněte si, že jsem jen distribuoval tohle žluté, distribuoval jsem celý tenhle výraz mezi toto x minus a. Násobím je x a násobím je -a. Teď můžeme znova využít distributivity. (x krát x) je (x na 2), (x krát a) je ax, a pak dostaneme (-a krát x) je -ax a (-a krát a) je -(a na 2). A všimněte si, že nezávisle na mé volbě, dostanu ax a pak -ax. Takže tohle se vždycky vyruší. Platí to tedy nejen v případě, kdy a je 3. Pro jakékoliv ‚a‘, mám-li a krát x a odečtu-li a krát x, tak se mi to vždycky vyruší. Takže tohle se vyruší, a co nám zbyde? Zbyde nám x na 2 minus (a na 2). A tohle můžete brát jako speciální případ. Máte-li totiž (x plus něco) krát (x minus to samé něco), vyjde vám z toho (x na 2) minus (to něco na 2). A to je dobré znát obecně. Můžeme toho využít, abychom rychle spočítali součin dalších dvojčlenů, které odpovídají tomuto vzoru. Takže v rychlosti: Kolik je (x plus 10) krát (x minus 10)? Můžete si říct: Dobře, vzoru to odpovídá, je to (x plus a) krát (x minus a), takže to bude (x na 2) minus (a na 2), Jestliže je a rovno 10, (a na 2) bude 100. Když znáte tenhle vzorec, spočítáte to velmi rychle.