Hlavní obsah
Základy algebry
Kurz: Základy algebry > Kapitola 7
Lekce 9: Řešení kvadratických rovnic rozkladem na součinŘešení kvadratických rovnic rozkladem na součin
Nauč se, jak řešit kvadratické rovnice jako např. (x-1)(x+3)=0 a jak používat rozklad na součin k řešení rovnic jiného tvaru.
Co je před čtením tohoto článku třeba znát
Co se v tomto článku dozvíš
Doteď jsi řešil/a lineární rovnice, které obsahují absolutní členy (pouhá čísla) a členy s neznámou umocněnou na prvou, tj. .
Možná už umíš řešit i některé typy kvadratických rovnic, které obsahují neznámou umocněnou na druhou, a to odmocněním obou stran rovnice.
V tomto článku se naučíš nový způsob řešení kvadratických rovnic.
Konkrétně se naučíš
- jak vyřešit kvadratické rovnice s výrazem ve tvaru součinu, například
- jak použít metody rozkládání mnohočlenů na součin k přepsání kvadratické rovnice
například do tvaru součinu a jak takové rovnice následně vyřešit.
Řešení kvadratických rovnic s výrazem ve tvaru součinu
Řekněme, že chceme vyřešit kvadratickou rovnici .
Jedná se o součin dvou výrazů, který je roven nule. Všimni si, že pro každou hodnotu , pro kterou bude nebo rovno nule, bude i celý součin roven nule.
Když do naší rovnice dosadíme nebo , dostaneme pravdivé tvrzení , takže obě hodnoty jsou skutečně řešením této rovnice.
Nyní zkus několik podobných rovnic vyřešit samostatně.
Kontrolní otázka
Poznámka ohledně nulového součinu
Jak víme, že již neexistují žádná další řešení kromě těch dvou, která jsme našli pomocí naší metody?
Odpověď nám poskytuje jednoduchá, ale velmi užitečná vlastnost zvaná vlastnost nulového součinu:
Pokud je součin dvou výrazů roven nule, pak je alespoň jeden z výrazů roven nule.
Dosadíme-li za jakoukoliv jinou hodnotu než naše vypočítaná řešení, dostaneme součin dvou nenulových čísel, který je určitě nenulový. Naše řešení jsou tudíž jediná možná.
Řešení pomocí rozkladu na součin
Řekněme, že chceme vyřešit rovnici . Jediné, co musíme udělat, je rozložit na součin a pak už můžeme rovnici řešit jako předtím!
Výraz lze na součin rozložit jako .
Celé řešení naší rovnice pak vypadá následovně:
Nyní je načase, abys zkusil/a vyřešit několik rovnic samostatně. Měj na paměti, že na různé rovnice je třeba použít různé metody rozkladu na součin.
Vyřeš rovnici .
Vyřeš rovnici .
Vyřeš rovnici .
Vyřeš rovnici .
Úprava rovnice před rozkladem na součin
Jedna ze stran rovnice musí být rovna nule.
Řešení rovnice vypadá následovně:
Před rozkladem na součin jsme rovnici upravili tak, aby všechny členy byly na jedné straně a na druhé straně byla jen nula. Jedině tehdy jsme schopní rozkládat na součin a použít naši metodu řešení.
Vydělení společným dělitelem
Takto se řeší rovnice :
Všechny členy měly společného dělitele , a tak jsme jím obě strany rovnice vydělili (strana s nulou zůstala nulová), což nám následně usnadnilo rozklad na součin.
Nyní zkus několik podobných rovnic vyřešit samostatně.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.