If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Základy algebry

Kurz: Základy algebry > Kapitola 7

Lekce 9: Řešení kvadratických rovnic rozkladem na součin
Matematika
Základy algebry
Kvadratické výrazy a mnohočleny
Řešení kvadratických rovnic rozkladem na součin
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Řešení kvadratických rovnic rozkladem na součin

Učebna Google
Nauč se, jak řešit kvadratické rovnice jako např. (x-1)(x+3)=0 a jak používat rozklad na součin k řešení rovnic jiného tvaru.

Co je před čtením tohoto článku třeba znát

Co se v tomto článku dozvíš

Doteď jsi řešil/a lineární rovnice, které obsahují absolutní členy (pouhá čísla) a členy s neznámou umocněnou na prvou, tj. x, start superscript, 1, end superscript, equals, x.
Možná už umíš řešit i některé typy kvadratických rovnic, které obsahují neznámou umocněnou na druhou, a to odmocněním obou stran rovnice.
V tomto článku se naučíš nový způsob řešení kvadratických rovnic. Konkrétně se naučíš
  • jak vyřešit kvadratické rovnice s výrazem ve tvaru součinu, například left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0
  • jak použít metody rozkládání mnohočlenů na součin k přepsání kvadratické rovnice left parenthesisnapříklad x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis do tvaru součinu a jak takové rovnice následně vyřešit.

Řešení kvadratických rovnic s výrazem ve tvaru součinu

Řekněme, že chceme vyřešit kvadratickou rovnici left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Jedná se o součin dvou výrazů, který je roven nule. Všimni si, že pro každou hodnotu x, pro kterou bude left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis nebo left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis rovno nule, bude i celý součin roven nule.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Když do naší rovnice dosadíme x, equals, 1 nebo x, equals, minus, 3, dostaneme pravdivé tvrzení 0, equals, 0, takže obě hodnoty jsou skutečně řešením této rovnice.
Nyní zkus několik podobných rovnic vyřešit samostatně.
Vyřeš rovnici left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
Vyber 1 odpověď:

Vyřeš rovnici left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Vyber 1 odpověď:

Kontrolní otázka

Můžeme stejný způsob řešení použít na rovnici left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6?
Vyber 1 odpověď:

Poznámka ohledně nulového součinu

Jak víme, že již neexistují žádná další řešení kromě těch dvou, která jsme našli pomocí naší metody?
Odpověď nám poskytuje jednoduchá, ale velmi užitečná vlastnost zvaná vlastnost nulového součinu:
Pokud je součin dvou výrazů roven nule, pak je alespoň jeden z výrazů roven nule.
Dosadíme-li za x jakoukoliv jinou hodnotu než naše vypočítaná řešení, dostaneme součin dvou nenulových čísel, který je určitě nenulový. Naše řešení jsou tudíž jediná možná.

Řešení pomocí rozkladu na součin

Řekněme, že chceme vyřešit rovnici x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0. Jediné, co musíme udělat, je rozložit x, squared, minus, 3, x, minus, 10 na součin a pak už můžeme rovnici řešit jako předtím!
Výraz x, squared, minus, 3, x, minus, 10 lze na součin rozložit jako left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
Celé řešení naší rovnice pak vypadá následovně:
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Rozklad na soucˇin.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Rozklad na součin.}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2& x&=5\end{aligned}
Nyní je načase, abys zkusil/a vyřešit několik rovnic samostatně. Měj na paměti, že na různé rovnice je třeba použít různé metody rozkladu na součin.

Vyřeš rovnici x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Krok 1. Rozklad výrazu x, squared, plus, 5, x na součin dvou lineárních výrazů.\quad

Krok 2. Vyřešení rovnice.
Vyber 1 odpověď:

Vyřeš rovnici x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Krok 1. Rozklad výrazu x, squared, minus, 11, x, plus, 28 na součin dvou lineárních výrazů.\quad

Krok 2. Vyřešení rovnice.
Vyber 1 odpověď:

Vyřeš rovnici 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Krok 1. Rozklad výrazu 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 na součin dvou lineárních výrazů.\quad

Krok 2. Vyřešení rovnice.
Vyber 1 odpověď:

Vyřeš rovnici 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Krok 1. Rozklad výrazu 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 na součin dvou lineárních výrazů.\quad

Krok 2. Vyřešení rovnice.
Vyber 1 odpověď:

Úprava rovnice před rozkladem na součin

Jedna ze stran rovnice musí být rovna nule.

Řešení rovnice x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x vypadá následovně:
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0Odecˇteme 40 a prˇicˇteme x.x2+3x−40=0Secˇteme cˇleny se stejnyˊm mocnitelem.(x+8)(x−5)=0Rozlozˇıˊme na soucˇin.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Odečteme 40 a přičteme }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Sečteme členy se stejným mocnitelem.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Rozložíme na součin.}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8& x&=5\end{aligned}
Před rozkladem na součin jsme rovnici upravili tak, aby všechny členy byly na jedné straně a na druhé straně byla jen nula. Jedině tehdy jsme schopní rozkládat na součin a použít naši metodu řešení.

Vydělení společným dělitelem

Takto se řeší rovnice 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0:
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0Vydeˇlıˊme 2.(x−3)2=0Rozlozˇıˊme na soucˇin.↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Vydělíme 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Rozložíme na součin.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Všechny členy měly společného dělitele 2, a tak jsme jím obě strany rovnice vydělili (strana s nulou zůstala nulová), což nám následně usnadnilo rozklad na součin.
Nyní zkus několik podobných rovnic vyřešit samostatně.
Vyřeš následující rovnici.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Vyber všechny správné odpovědi.

Vyřeš následující rovnici.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Vyber všechny správné odpovědi.

Vyřeš následující rovnici.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Vyber všechny správné odpovědi.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.