If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Základy algebry

Kurz: Základy algebry > Kapitola 7

Lekce 6: Rozklad kvadratických výrazů na součin 2
Matematika
Základy algebry
Kvadratické výrazy a mnohočleny
Rozklad kvadratických výrazů na součin 2
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Rozklad kvadratických výrazů na součin: vedoucí koeficient ≠ 1

Učebna Google
Nauč se, jak rozložit kvadratické výrazy na součin dvou lineárních dvojčlenů. Například 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Co je před touto lekcí třeba vědět

Seskupovací metodu lze použít k rozkladu mnohočlenů se 4 členy tak, že opakovaně vytkneme společného dělitele. Pokud je tohle pro tebe nové, bylo by dobré se podívat na náš článek Úvod do rozkládání na součin seskupovací metodou.
Rovněž ti doporučujeme, aby sis předtím, než budeš pokračovat ve čtení, zopakoval, co píšeme v článku o rozkládání kvadratických mnohočlenů s vedoucím koeficientem 1.

Co se v této lekci dozvíš

V tomto článku použijeme seskupování k rozkladu kvadratických trojčlenů s vedoucím koeficientem různým od 1, například 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Příklad 1: Rozklad 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3 na součin.

Protože vedoucí koeficient mnohočlenu start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff je start color #11accd, 2, end color #11accd, k rozkladu tohoto kvadratického trojčlenu nelze použít součto-součinový vzorec.
Místo toho musíme pro rozklad start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff nalézt dvě celá čísla, jejichž součin bude roven start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (vedoucí koeficient krát absolutní člen) a jejichž součet bude roven start color #e07d10, 7, end color #e07d10 (koeficient u x).
Poněvadž start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 a start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, hledanými čísly jsou start color #01a995, 1, end color #01a995 a start color #01a995, 6, end color #01a995.
Tato dvě čísla nám říkají, jak rozdělit člen s x v původním výrazu. Náš mnohočlen tak napíšeme jako 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
Teď už můžeme k rozkladu zadaného mnohočlenu na součin použít seskupování:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Seskupıˊme cˇleny=x(2x+1)+3(2x+1)Vytkneme nejveˇtsˇıˊ spolecˇneˊ deˇlitele=x(2x+1)+3(2x+1)Spolecˇnyˊ deˇlitel!=(2x+1)(x+3)Vytkneme 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Seskupíme členy}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{Vytkneme největší společné dělitele}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Společný dělitel!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{Vytkneme } 2x+1}} \end{aligned}
Rozklad na součin je left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Výsledek si můžeme zkontrolovat tak, že po roznásobení obou závorek vyjde 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Shrnutí

Obecně řečeno, k rozkladu kvadratického mnohočlenu ve tvaru start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff můžeme použít následující postup:
  1. Začneme nalezením dvou čísel, jejichž součin je start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff a jejichž součet je start color #e07d10, b, end color #e07d10.
  2. Nalezená čísla použijeme k rozdělení členu s x.
  3. Zadaný kvadratický výraz rozložíme pomocí seskupování.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Rozlož 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8 na součin.
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15 na součin.

Příklad 2: Rozklad 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4 na součin.

Abychom rozložili start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, musíme najít dvě taková celá čísla, jejichž součin je start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 a jejichž součet je start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Protože start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 a start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5, hledanými čísly jsou start color #01a995, 3, end color #01a995 a start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Člen minus, 5, x můžeme nyní rozdělit na součet start color #01a995, 3, end color #01a995, x a start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x a k rozkladu zadaného mnohočlenu použijeme seskupování:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)Seskupıˊme cˇleny(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)Vytkneme nejveˇtsˇıˊ spolecˇneˊ deˇlitele(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)Zjednodusˇıˊme(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)Spolecˇnyˊ deˇlitel!(5)=(2x+1)(3x−4)Vytkneme 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Seskupíme členy}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{Vytkneme největší společné dělitele}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Zjednodušíme}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Společný dělitel!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Vytkneme } 2x+1}}\\ \end{aligned}
Rozklad na součin je left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Výsledek si můžeme zkontrolovat tak, že po zpětném roznásobení obou závorek vyjde 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4.
Poznamenej si: Všimni si, že jsme v kroku start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd kvůli tomu, že třetí člen byl záporný, napsali znaménko "+" mezi obě seskupení, abychom zajistili, že nová rovnice bude vyjadřovat totéž, co ta původní. V kroku start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd jsme potřebovali vytknout záporného největšího společného dělitele z druhého seskupení, abychom nakonec odhalili společného dělitele 2, x, plus, 1. Dej pozor na znaménka!

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

3) Rozlož 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9 na součin.
Vyber 1 odpověď:

4) Rozlož 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5 na součin.

5) Rozlož 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6 na součin.

Kdy se dá tato metoda použít?

Tato metoda se zjevně dá použít k rozkládání kvadratických mnohočlenů ve tvaru a, x, squared, plus, b, x, plus, c na součin, dokonce i když a, does not equal, 1.
Avšak ne vždy lze kvadratický výraz v tomto tvaru naší metodou rozložit.
Jako příklad můžeme vzít start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. Abychom jej rozložili, musíme najít dvě celá čísla, jejichž součin je start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 a jejichž součet je start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Ať už bys to zkoušel sebevíc, žádná taková celá čísla nenajdeš.
Z toho důvodu naše metoda nefunguje pro start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff a pro řadu dalších kvadratických výrazů.
Pokud však tato metoda nefunguje, je užitečné si zapamatovat, že zadaný výraz nelze rozložit jako left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, kde A, B, C a D jsou celá čísla.

Proč tato metoda funguje?

Pojďme se podrobně zamyslet nad tím, proč tato metoda vůbec funguje. Budeme muset použít hodně písmenek, ale měj s námi, prosím, trpělivost!
Předpokládejme, že obecný kvadratický výraz a, x, squared, plus, b, x, plus, c lze rozložit jako left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, kde A, B, C a D jsou celá čísla.
Když obě závorky roznásobíme, dostaneme kvadratický výraz left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
Protože tento výraz má být roven a, x, squared, plus, b, x, plus, c, příslušné koeficienty v obou výrazech se sobě musí rovnat! Z toho plynou následující vztahy mezi všemi našimi neznámými písmeny:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Nyní položme m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 a n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Z toho pak platí...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
a
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
Proto jsou start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 a start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff oněmi dvěma čísly, která při používání této metody vždy hledáme!
Po nalezení čísel m a n je dalším krokem této metody rozdělení koeficientu u x left parenthesis, b, right parenthesis podle čísel m a n a následné rozložení na součin pomocí seskupování.
Opravdu, když člen s x, který je left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, rozdělíme na left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, budeme moci použít seskupování k rozkladu našeho výrazu na left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
Celkem jsme v této části...
  • začali s obecným výrazem a, x, squared, plus, b, x, plus, c a jeho obecným rozkladem left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
  • byli schopni nalézt čísla m a n taková, že m, n, equals, a, c a m, plus, n, equals, b left parenthesistoho jsme docílili tím, že jsme položili m, equals, B, C a n, equals, A, D, right parenthesis,
  • rozdělili člen s x, který je b, x, na m, x, plus, n, x a dokázali rozložit výraz na left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Tento postup nám ukazuje, proč nás naše metoda dovede k rozkladu na součin, pokud lze výraz rozložit jako left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Díky, že jsi to s námi vydržel!

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.