If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Základy algebry

Kurz: Základy algebry > Kapitola 7

Lekce 6: Rozklad kvadratických výrazů na součin 2
Matematika
Základy algebry
Kvadratické výrazy a mnohočleny
Rozklad kvadratických výrazů na součin 2
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Rozkládání na součin seskupováním

Učebna Google
Nauč se rozkládat na součin pomocí metody zvané "seskupování." Seskupováním rozložíme například 2x²+8x+3x+12 na součin (2x+3)(x+4).

Co je před touto lekcí třeba vědět

Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.
Několik příkladů rozkládání na součin jsme už viděli. Pro správné pochopení tohoto článku je třeba důkladně znát vytýkání společných dělitelů pomocí distributivity. Například 6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis.

Co se v tomto článku dozvíš

V tomto článku se naučíš, jak používat metodu rozkládání na součin zvanou seskupování.

Příklad 1: Rozklad 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12 na součin.

Nejprve si povšimni, že členy v mnohočlenu 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12 nemají žádného společného dělitele. Avšak pokud k sobě seskupíme první dva členy a poslední dva členy, každé ze seskupení bude mít svého největšího společného dělitele:
Konkrétněji máme v prvním seskupení největšího společného dělitele 2, x, ve druhém seskupení je to 3. Tyto dělitele můžeme vytknout a dostaneme následující výraz:
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
Povšimni si, že tím jsme odhalili společného dělitele obou vzniklých členů: start color #e07d10, x, plus, 4, end color #e07d10. Toho můžeme za použití distributivity vytknout.
Poněvadž zadaný mnohočlen je nyní vyjádřen jako součin dvou dvojčlenů, tak už je rozložený na součin. Svůj výsledek si můžeme zkontrolovat roznásobením a následným porovnáním s původním mnohočlenem.

Příklad 2: Rozklad 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8 na součin.

Pojďme si shrnout to, co jsme udělali výše, na rozkladu dalšího mnohočlenu:
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Seskupıˊme cˇleny=3x(x+2)+4(x+2)Vytkneme nejveˇtsˇıˊ spolecˇneˊ deˇlitele=3x(x+2)+4(x+2)Spolecˇnyˊ deˇlitel!=(x+2)(3x+4)Vytkneme x+2\begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{Seskupíme členy}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{Vytkneme největší společné dělitele}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{Společný dělitel!}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{\text{Vytkneme } x+2}} \end{aligned}
Rozklad na součin je left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Rozlož 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8 na součin.
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4 na součin.

3) Rozlož 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3 na součin.

Příklad 3: Rozklad 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 na součin.

Když používáme seskupování k rozkladu mnohočlenů se zápornými koeficienty, je třeba být obzvláště na pozoru.
Jako příklad je níže uveden rozklad mnohočlenu 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8.
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)Seskupıˊme cˇleny(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)Vytkneme nejveˇtsˇıˊ spolecˇneˊ deˇlitele(3)=3x(x−2)−4(x−2)Zjednodusˇıˊme(4)=3x(x−2)−4(x−2)Spolecˇnyˊ deˇlitel!(5)=(x−2)(3x−4)Vytkneme x−2\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{Seskupíme členy}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{Vytkneme největší společné dělitele}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{Zjednodušíme}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{Společný dělitel!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Vytkneme $x-2$}}}\\\\ \end{aligned}
Rozklad zadaného mnohočlenu je left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis. Dvojčleny si můžeme zpětně roznásobit a ověřit správnost našeho rozkladu.
Některé kroky výše se mohou zdát odlišné oproti tomu, co jsme dělali v prvním příkladu, takže máš možná pár otázek.
Odkud se vzalo znaménko "+" mezi oběma seskupeními?
V kroku start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd jsme mezi seskupení left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis a left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis přidali znaménko "+". Je to kvůli tomu, že třetí člen left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis je záporný a znaménko členu musí být zahrnuto do seskupení.
Ponechat znaménko minus před druhým seskupením je zrádné. Běžnou chybou je například seskupit 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 jako left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Po zjednodušení ale zjistíme, že ve skutečnosti jde o seskupení mnohočlenu 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c, což není to samé co náš původní výraz.
Proč vytýkáme minus, 4 místo 4?
V kroku start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd jsme vytkli minus, 4 a tím odhalili společného dělitele left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Pokud bychom místo toho vytkli kladnou 4, neodhalili bychom tohoto společného dvojčlenného dělitele tak jako předtím:
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
Když je vedoucí člen v seskupení záporný, často musíme vytýkat záporného společného dělitele.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

4) Rozlož 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6 na součin.
Vyber 1 odpověď:

5) Rozlož 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10 na součin.

6) Rozlož 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2 na součin.

Těžší příklad

7*) Rozlož 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15 na součin.

Kdy můžeme použít seskupovací metodu?

Seskupovací metodu lze k rozkladu mnohočlenů na součin použít, kdykoliv existuje společný dělitel obou seskupení.
Seskupování můžeme použít kupříkladu k rozkladu mnohočlenu 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6, protože jej lze napsat následovně:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
Seskupovací metodu však nemůžeme použít k rozkladu 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12, poněvadž po vytknutí největších společných dělitelů v obou seskupeních už neobdržíme žádného společného dělitele.
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

Použití seskupování k rozkladu trojčlenů

Seskupování lze rovněž použít k rozkladu některých tříčlenných kvadratických výrazů (tj. trojčlenů) jako je 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3. Je to kvůli tomu, že výraz můžeme přepsat následovně:
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
Poté můžeme použít seskupování a rozložit 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3 jako left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.
Pro více informací o rozkládání kvadratických trojčlenů pomocí seskupování se podívej na náš další článek.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.