If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Základy algebry

Kurz: Základy algebry > Kapitola 7

Lekce 4: Rozklad mnohočlenů na součin vytýkáním společných dělitelů
Matematika
Základy algebry
Kvadratické výrazy a mnohočleny
Rozklad mnohočlenů na součin vytýkáním společných dělitelů
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Rozklad mnohočlenů na součin vytknutím společného dělitele

Učebna Google
Nauč se, jak z mnohočlenu vytknout společného dělitele, například jak výraz 6x²+10x rozložit jako 2x(3x+5).

Co je před touto lekcí třeba vědět

Největší společný dělitel dvou či více jednočlenů je roven součinu všech jejich společných prvočíselných dělitelů. Například největší společný dělitel jednočlenů 6, x a 4, x, squared je 2, x.
Pokud je toto pro tebe nové, můžeš se podívat na článek o největším společném děliteli jednočlenů.

Co se v této lekci dozvíš

V této lekci se naučíš, jak z mnohočlenů vytýkat společné dělitele.

Distributivita: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

Abychom se naučili vytýkat společné dělitele, musíme se nejprve obeznámit s distributivitou.
Distributivitu můžeme použít například k určení součinu 3, x, squared a 4, x, plus, 3, a to takto:
Povšimni si, že každý člen v našem dvojčlenu byl vynásoben start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995.
Ale protože distributivita je rovností, opačný postup jde taky použít!
Když začneme s 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, můžeme použít distributivitu a vytknoutspace, start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995, čímž získáme 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
Výsledný výraz je rozložený na součin, protože je zapsán jako součin dvou mnohočlenů, zatímco původní výraz byl ve tvaru součtu dvou členů.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Rozlož 2, x, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, plus, 2, x, left parenthesis, 5, right parenthesis na součin mnohočlenů.
Vyber 1 odpověď:

Vytýkání největšího společného dělitele

Abychom z mnohočlenu vytkli jeho největšího společného dělitele, provedeme následující:
  1. Najdeme největšího společného dělitele všech členů v mnohočlenu.
  2. Každý člen vyjádříme jako součin tohoto největšího společného dělitele a nějakého jiného činitele.
  3. Největšího společného dělitele vytkneme pomocí distributivity.
Zkusme vytknout největšího společného dělitele z mnohočlenu 2, x, cubed, minus, 6, x, squared.
Krok 1: Nalezení největšího společného dělitele
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Největší společný dělitel mnohočlenu 2, x, cubed, minus, 6, x, squared je tak start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
Krok 2: Vyjádření každého členu jako součinu start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995 a jiného činitele.
  • 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
  • 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Mnohočlen tak můžeme rozepsat jako 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Krok 3: Vytknutí největšího společného dělitele
Nyní už můžeme vytknout start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995 pomocí distributivity.
Kontrola našeho výsledku
Výsledný rozklad na součin si můžeme zkontrolovat zpětným vynásobením členem 2, x, squared, čímž získáme zase mnohočlen.
Poněvadž tento mnohočlen je stejný jako původní mnohočlen, náš rozklad na součin je správný!

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

2) Vytkni největšího společného dělitele z mnohočlenu 12, x, squared, plus, 18, x.
Vyber 1 odpověď:

3) Vytkni největšího společného dělitele z následujícího mnohočlenu.
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

4) Vytkni největšího společného dělitele z následujícího mnohočlenu.
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

Můžeme být efektivnější?

Pokud se cítíš dostatečně obeznámen s vytýkáním největšího společného dělitele, můžeš vyzkoušet rychlejší metodu:
Když už známe největšího společného dělitele, rozklad na součin je pak jednoduše součin tohoto největšího společného dělitele a součtu členů v původním mnohočlenu vydělených největším společným dělitelem.
Podívej se, jak můžeme využít tuto rychlejší metodu k rozkladu mnohočlenu 5, x, squared, plus, 10, x, jehož největší společný dělitel je start color #01a995, 5, x, end color #01a995:
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, right parenthesis, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Vytýkání dvoučlenných dělitelů

Společný dělitel v mnohočlenu nemusí být vždy jednočlen.
Uvažujme například mnohočlen x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Všimni si, že dvojčlen start color #01a995, 2, x, minus, 1, end color #01a995 se vyskytuje v obou členech. Můžeme ho tudíž vytknout pomocí distributivity:

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

5) Vytkni největšího společného dělitele z následujícího mnohočlenu.
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Různé typy rozkladů na součin

Mohlo by se zdát, že jsme termín "rozložit na součin" použili pro několik rozdílných postupů:
  • Rozkládali jsme jednočleny tak, že jsme je rozepsali jako součin jiných jednočlenů. Například 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
  • Rozkládali jsme mnohočleny na součin tak, že jsme pomocí distributivity vytkli největšího společného dělitele. Například 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
  • Vytýkali jsme společné dvojčlenné dělitele, což vyústilo v rozklad výrazu na součin dvou dvojčlenů. Například x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.
Zatímco jsme možná použili rozdílné metody, v každém případě jsme rozepisovali mnohočlen jako součin dvou či více činitelů. V každém ze tří případů jsme tedy opravdu rozložili mnohočlen na součin.

Těžší příklady

6*) Vytkni největšího společného dělitele z následujícího mnohočlenu.
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

7*) Velký obdélník s obsahem 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared metrů čtverečných je rozdělen na dva menší obdélníky s obsahy 14, x, start superscript, 4, end superscript a 6, x, squared metrů čtverečných.
Výška tohoto obdélníku (v metrech) je rovna největšímu společnému děliteli 14, x, start superscript, 4, end superscript a 6, x, squared.
Jaká je délka a výška velkého obdélníku?
start text, S, with, \v, on top, ı, with, \', on top, r, with, \v, on top, k, a, end text, equals
m
start text, D, e, with, \', on top, l, k, a, end text, equals
m

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.