If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Základy algebry

Kurz: Základy algebry > Kapitola 7

Lekce 8: Rozklad kvadratických výrazů: výrazy ve tvaru čtverce
Matematika
Základy algebry
Kvadratické výrazy a mnohočleny
Rozklad kvadratických výrazů: výrazy ve tvaru čtverce
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Rozklad kvadratických výrazů: výrazy ve tvaru čtverce

Učebna Google
Nauč se, jak rozložit kvadratické výrazy, které jsou ve tvaru "čtverce". Například napiš x²+6x+9 jako (x+3)².
Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.
V tomto článku se naučíš, jak lze pomocí speciálních vzorečků rozložit tzv. trojčlenné čtverce. Jde o opak mocnění dvojčlenů na druhou, což bys měl raději zcela umět předtím, než budeš pokračovat ve čtení.

Úvod: Rozkládání trojčlenných čtverců

Chceme-li umocnit jakýkoliv dvojčlen, můžeme použít jeden z následujících vzorců.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Povšimni si, že v těchto vzorcích mohou být a a b libovolné algebraické výrazy. Řekněme, že chceme umocnit například left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. V takovém případě start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, takže dostáváme:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Správnost použitého vzorce si můžeš ověřit tak, že k umocnění left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared použiješ násobení.
Obrácení tohoto postupu je určitým typem rozkladu na součin. Pokud předchozí rovnosti napíšeme v obráceném sledu, dostaneme vzorce pro rozklad mnohočlenů ve tvaru a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared na součin.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
K rozkladu x, squared, plus, 10, x, plus, 25 můžeme použít první vzorec. V tomto případě máme start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Výrazy tohoto tvaru nazýváme trojčlenné čtverce. Jejich jméno značí, že jde o trojčlenné mnohočleny, které lze napsat jako nějaký výraz umocněný na druhou (takové výrazy se někdy označují právě slovem "čtverec").
Pojďme se podívat na pár příkladů, v nichž budeme rozkládat trojčlenné čtverce pomocí těchto vzorců.

Příklad 1: Rozklad x, squared, plus, 8, x, plus, 16 na součin.

Povšimni si, že první a poslední člen jsou druhé mocniny: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared a 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
To znamená, že náš mnohočlen je trojčlenným čtvercem, takže k rozkladu na součin můžeme použít následující vzorec:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
V našem případě start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Náš mnohočlen tak na součin rozložíme následovně:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Výsledek si můžeme zkontrolovat umocněním left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Rozlož x, squared, plus, 6, x, plus, 9 na součin.
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož x, squared, minus, 6, x, plus, 9 na součin.
Vyber 1 odpověď:

3) Rozlož x, squared, plus, 14, x, plus, 49 na součin.

Příklad 2: Rozklad 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 na součin.

Vedoucí koeficient trojčlenného čtverce nemusí být nutně roven 1.
Například si všimni, že v trojčlenu 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 jsou první a poslední člen druhými mocninami: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared a 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Dále si všimni, že prostřední člen je roven dvojnásobku součinu těch čísel, která mocníme na druhou: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Protože trojčlen splňuje obě výše uvedené podmínky, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 je trojčlenným čtvercem. Následující vzorec pro rozklad na součin tak můžeme opět použít.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
V našem případě start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Rozklad našeho mnohočlenu na součin tak vypadá následovně:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Výsledek si můžeme zkontrolovat umocněním left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared:

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

4) Rozlož 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25 na součin.
Vyber 1 odpověď:

5) Rozlož 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25 na součin.

Těžší příklady

6*) Rozlož x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1 na součin.

7*) Rozlož 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared na součin.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.