If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Rozklad kvadratických výrazů na součin: rozdíl druhých mocnin

Nauč se, jak rozložit kvadratické výrazy, které jsou ve tvaru "rozdílu druhých mocnin". Například rozlož x²-16 na součin (x+4)(x-4).
Rozložit mnohočlen na součin znamená rozepsat ho jako součin dvou či více mnohočlenů. Jde o opak násobení mnohočlenů.
V tomto článku se naučíš, jak použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin k rozložení některých mnohočlenů na součin. Pokud tento vzorec neznáš, podívej se prosím předtím, než budeš pokračovat ve čtení, na naše video.

Úvod: Vzorec pro rozdíl druhých mocnin

Každý mnohočlen, který je rozdílem dvou druhých mocnin, lze rozložit na součin použitím následujícího vzorce:
a2b2=(a+b)(ab)
Povšimni si, že a a b v tomto vzorci mohou být libovolné algebraické výrazy. Například pro a=x a b=2 dostaneme:
x222=(x+2)(x2)
Mnohočlen x24 je nyní rozložen na součin jako (x+2)(x2). Pravou stranu této rovnosti si můžeme roznásobit a ověřit si tak správnost našeho rozkladu:
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24
Když už tomuto vzorci rozumíme, využijeme ho k rozkladu pár dalších mnohočlenů.

Příklad 1: Rozklad x216 na součin.

x2 i 16 jsou druhé mocniny, protože x2=(x)2 a 16=(4)2. Jinými slovy:
x216=(x)2(4)2
Protože odečítáme dvě druhé mocniny, vidíme, že tento mnohočlen je rozdílem druhých mocnin. K rozkladu tohoto výrazu na součin tak můžeme použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin:
a2b2=(a+b)(ab)
V našem případě a=x a b=4. Rozklad našeho mnohočlenu na součin tak vypadá následovně:
(x)2(4)2=(x+4)(x4)
Výsledek si můžeme ověřit tak, že se tento součin po roznásobení rovná x216.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Rozlož x225 na součin.
Vyber 1 odpověď:

2) Rozlož x2100 na součin.

Kontrolní otázka

3) Lze vzorec pro rozdíl druhých mocnin použít k rozkladu x2+25 na součin?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 2: Rozklad 4x29 na součin.

Abychom mohli použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin, vedoucí koeficient se nemusí vždy rovnat 1. Ve skutečnosti ho můžeme použít i v tomto příkladu!
Je to proto, že 4x2 i 9 jsou druhé mocniny, protože 4x2=(2x)2 a 9=(3)2. Toho využijeme a k rozložení zadaného mnohočlenu na součin použijeme vzorec pro rozdíl druhých mocnin:
4x29=(2x)2(3)2=(2x+3)(2x3)
Rychlým vynásobením si můžeme ověřit správnost našeho výpočtu.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

4) Rozlož 25x24 na součin.
Vyber 1 odpověď:

5) Rozlož 64x281 na součin.

6) Rozlož 36x21 na součin.

Těžší příklady

7*) Rozlož x49 na součin.

8*) Rozlož 4x249y2 na součin.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.