If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Úlohy na rovnici přímky ve směrnicovém tvaru

V tomto videu se setkáme s různě zadanými přímkami, jejichž rovnici máme za úkol zapsat ve směrnicovém tvaru.   Tvůrce: Sal Khan.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Dnes se podíváme na další příklady na rovnice ve směrnicovém tvaru. Jen pro připomenutí, rovnice přímky ve směrnicovém tvaru se zapisuje jako y = kx + q, kde k je směrnice té přímky a q je průsečík s osou y, tedy jeho y-ová souřadnice. Jelikož x-ová je vždy nulová, jak víme. Tak se pojďme podívat na první příklad. Přímka má směrnici -5 a průsečík s osou y v bodě 6. Tedy 0 a 6. Takže směrnice zde je -5, tu nám rovnou zadali, a tedy naše k je rovno -5. A máme rovnou zadaný i průsečík s osou y a ten je v bodě 6. A tedy naše q je rovno 6. Výsledná rovnice bude podle vzorečku y se rovná k, tedy -5, krát x + q, které je 6, y se rovná -5x plus 6. To bylo velice jednoduché, jelikož jsme to dostali rovnou zadané. Pojďme na druhý příklad, kdy přímka má směrnici -1 a prochází bodem 4/5 a 0. Opět směrnice je tady -1 a tedy k se rovná -1 a my tedy víme, když si to dosadíme do toho vzorečku y se rovná kx + q, že naše rovnice bude ve tvaru y = -1x + q Jenom jsme dosadili to k, tu směrnici. Teď ještě potřebujeme vypočítat to q. Ten průsečík s osou y, který nám tentokrát už nezadali. My ale víme, že naše přímka prochází tímto bodem, bodem 4/5 a 0. A to tedy znamená, že souřadnice tohoto bodu musí vyhovovat této rovnici. Tedy že když je dosadíme za x a za y, tak tato rovnost bude platit. A tedy toto je naše x a toto je naše y. Takže y, a tedy nula, se rovná -1 krát 4/5, jelikož x je čtyři pětiny podle tohoto bodu, plus q a tedy 0 se rovná -1 krát 4/5 jsou -4/5 + q. Když přičteme 4/5 k oběma stranám rovnice, dostaneme čtyři pětiny se rovná q. Už máme i q i k. A můžeme zapsat naši rovnici, kam doplníme q a tedy y se rovná -x, minus 1x je to stejné jako -x, plus 4/5. To je naše výsledná rovnice ve směrnicovém tvaru. Pojďme na další příklad. Přímka prochází body 2 a 6 a 5 a 0. Tentokrát už nemáme zadanou směrnici, ale máme zadány dva body, kterými přímka prochází, což nám bohatě stačí k tomu, abychom našli jak směrnici, tak průsečík s osou y. My totiž víme, že naše směrnice k se spočítá jako změna y (delta y) ku změně x (deltě x) a změna y a změna x se dají zapsat jako rozdíl souřadnic koncového bodu a počátečního bodu. Tedy u y: y2 - y1 a u x: x2 - x1. x-ová a y-ová souřadnice koncového bodu minus x-ová a y-ová souřadnice počátečního bodu. Zkusme si to k spočítat podle tohoto vzorečku. Zvolíme si jako koncový bod bod 2 a 6 ku příkladu a jako počáteční bod bod 5 a 0. Y2, v našem případě 6, minus y1, v tomto případě 0 lomeno 2, x2 je 2, minus a x1 je 5, takto. Tady je krásně vidět podle těch barev, že pokud se rozhodneme tento bod vzít jako koncový a tento jako počáteční, musíme to pořadí dodržet u y i u x. Nemůžeme si to tady tak mezi sebou nějak libovolně prohazovat, pokud je tento bod na prvním místě u y, bude na prvním místě i u x a naopak. Je to ale každopádně jedno, který bod si zvolíme jako počáteční a koncový, výsledek bude vždy stejný. Vždy dostaneme stejnou hodnotu směrnice. Tak si to pojďme dopočítat a tady dostaneme 6 lomeno 2 minus pět je -3. A naše výsledná směrnice je tedy rovna -2. Zase si to můžeme dosadit do našeho vzorečku rovnice, y se rovná k krát x, a tedy -2x, plus q. A uděláme to samé, co jsme udělali v předchozím příkladu, že do naší rovnice si dosadíme nějaký bod, kterým přímka prochází. Tady bude asi nejjednodušší použít tento druhý bod zaznačený modře, jelikož obsahuje číslo 0 a s tím se nám bude lépe počítat. Y, což je 0, 0 se rovná -2 krát, x je pět, krát pět plus q. A dopočítáme si to q. Ten průsečík s osou y. 0 se rovná -10 + q. Přičteme + 10 k oběma stranám rovnice a vyjde nám, že 10 se rovná q. Už jsme našli i průsečík s osou y a naše rovnice bude tedy vypadat jako y se rovná -2x plus 10. Toto je výsledná rovnice ve směrnicovém tvaru přímky, která prochází těmito dvěma body. Pojďme na další příklad, ten je obdobný, máme tu opět dva body, kterými přímka prochází a tentokrát jsou to body 3 a 5 a -3 a 0. Takže úplně stejným způsobem, k se rovná delta y lomeno delta x. Můžeme si to teď prohodit a říct, že toto bude náš počáteční bod a toto bude náš koncový bod. Tak. Y2, y-ová souřadnice koncového bodu, nula minus y-ová počátečního a tedy 5, lomeno x-ová souřadnice koncového, -3, minus x-ová souřadnice počátečního, a tedy 3. Dostáváme minus 5 lomeno minus 6, minusy se nám vyruší. Dostáváme 5/6. Vždy nezapomínejte, že tady nahoře jsou y-ové souřadnice a dole x-ové. Ačkoliv by nás to podle zvyklosti, kdy říkáme x a y, mohlo svádět to udělat naopak. Ne, nahoře je vždycky y (0-5). A abyste viděli, že je opravdu jedno, který bod si zvolíme jako počáteční a který koncový, můžeme si to vyzkoušet ještě naopak a tedy toto bude náš koncový bod, toto náš počáteční. Takže tentokrát začínáme tímto bodem, tedy y-ová souřadnice, 5 minus 0, lomeno x-ové souřadnice 3 - (-3). 3 - (-3). A vy už to asi vidíte, že dostáváme opět pět šestin, naše směrnice je rovna pěti šestinám. Doplníme si to zase do rovnice y se rovná kx, a tedy pět šestin x, plus q, a dopočítáme si zase q, průsečík s osou y. A to tak, že opět si za x a za y dosadíme souřadnice jednoho bodu, kterým přímka prochází. Tady máme zase bod, ve kterém se vyskytuje 0, takže ho zase použijeme, aby to bylo jednoduché. 0 se rovná, 5/6 krát, x je minus 3, krát minus 3 plus q, tady dostáváme 0 se rovná minus patnáct šestin plus q. 15/6 můžeme vykrátit třemi a tedy 0 se rovná minus 5/2 + q. Přičteme si pět polovin k oběma stranám a dostaneme, že pět polovin se rovná q. To bylo úplně stejné jako předtím a naše výsledná rovnice, kam si dosadíme q, bude y se rovná 5/6x plus 5/2. Pojďme na další příklad, tentokrát to bude trochu jiné, tentokrát tady máme graf, směrnici i průsečík s osou y můžeme často vyčíst i pouze z grafu, jelikož my víme, že směrnice je rovna změna y ku změně x, delta y ku deltě x, jak už jsme řekli několikrát, to tedy vyjadřuje to, o kolik se posuneme u y, když se o nějakou hodnotu posuneme u x. A to můžeme samozřejmě vyčíst jednoduše i z grafu. Když se podíváme, vybereme si nějaký bod, který lze dobře odečíst, já tady vidím třeba 2 a 2, takže když se z bodu 2 a 2 posuneme u x o jedna, tady o jedna, o kolik se musíme posunout u y, abychom se opět dostali zpátky na přímku? O raz, dva, tři, čtyři, o rovné čtyři. Takto. Když si to dosadíme do našeho vzorečku, dostáváme změna y je 4 a změna x je jedna. A tedy naše směrnice se rovná 4. Průsečík s osou y můžeme opět odečíst z grafu, já ho tady vidím hned, vidíme, že to je bod nula a minus 6. A tedy naše q je rovno minus 6. A teď už nezbývá nic jiného, než to dosadit do rovnice, y se rovná kx plus q. A tedy y se rovná 4x minus 6 plus q, tedy plus minus 6, minus 6.