Úvod do směrnicového tvaru lineárních rovnic

Máme několik způsobů jak zapsat lineární rovnici. Jedním z nich může být y se rovná dvě x plus tři. Tu stejnou rovnici můžeme zapsat také například jako minus dvě x plus y se rovná tři, anebo také jako y minus pět se rovná dvě x minus jedna. Všechny tyto způsoby jsou ekvivalentní, dávají stejný výsledek a všechny jsou nějakým způsobem užitečné, k něčemu se nám budou hodit. Tyto dva způsoby si ale necháme zase na někdy jindy. Dnes nás bude zajímat tento tvar. Této rovnici, tomuto způsobu zápisu, se říká směrnicový tvar přímky nebo také směrnicová rovnice přímky a my si hned ukážeme, proč pro nás tady tento tvar rovnice může být užitečný. Vypočítáme si několik bodů a zakreslíme si je do grafu. Zvolíme si nějaké jednoduché x, aby se nám s nimi dobře počítalo, takže pro začátek si zvolíme x se rovná 0. Když x je nula, toto se nám vyruší a zbyde nám y se rovná 3. Ten bod si hned zakreslíme do grafu, bod 0 a 3, a my teď vidíme, že tento bod je vlastně náš průsečík s osou y, místo, kde přímka protíná osu y, což my už víme, protože kdykoliv se x-ová souřadnice rovná 0, tak se jedná o průsečík s osou y. Toto číslo bude tedy v našem směrnicovém tvaru přímky vždycky označovat průsečík s osou y. Průsečík s osou y je tedy velice jednoduché odvodit z tohoto směrnicového tvaru přímky. Ten tvar se ale jmenuje směrnicový, tudíž nemělo by být jednoduché z tohoto tvaru vyčíst také směrnici? Ano, přesně tak. A hned si ukážeme, jak na to. Dopočítáme si nějaké dva další body, zvolíme si zase nějaké jednoduché x, takže když x bude jedna a naše delta x bude tedy tady, delta x, bude jedna, tedy naše změna x, jak už víme ze směrnice. Jaká bude tady změna y? X je jedna, y se rovná dvakrát jedna plus tři, to je pět. Delta y je tedy 2. Když si za x zvolíme dva, y se bude rovnat 2 krát 2, to je 4, plus 3, to je 7, takže opět delta x je jedna a delta y opět 2. Jaká je tedy naše směrnice? Směrnice, jak již víme, se vypočítá jako delta y ku deltě X. V našem případě tedy dvě ku jedné. A to jsou dva. Naše směrnice má hodnotu 2. Nakresleme tedy teď tu přímku. Zakreslíme si druhý bod, bod 1 a 5, to je tady. A jelikož přímku sestrojíme už pomocí dvou bodů, můžeme si ji už načrtnout. Tak toto je graf přímky zadané naší rovnicí tady nahoře. A když se podíváme, tak opravdu kdykoli jdeme u x o jedna, u y musíme jít o dva. Funguje to samozřejmě i pozpátku, kdybychom šli směrem dozadu, do minusu, do x je minus jedna, tak y půjde o 2 dolů, k jedna. Když si to spočítáme tady, tak kdyby x bylo minus jedna, tady to trošku nacpeme, tak y se rovná dvakrát minus jedna, to je minus dva plus tři, to je jedna, minus jedna a jedna, to odpovídá. A kde tedy najdeme hodnotu směrnice v naší rovnici? Číslo 2 se nachází přímo tady. Toto bude tedy vždy naše směrnice. Kdykoli tedy máme směrnicový tvar přímky, který je zadaný jako y se rovná nějaká konstanta krát x plus další konstanta, tak ta první konstanta nám bude udávat hodnotu směrnice a ta druhá konstanta průsečík s osou y. Proto je směrnicový tvar tak vhodný pro načrtnutí grafu nebo pro i jednoduchou představu, jak takový graf přímky bude vypadat. Zkusíme si to ještě na další rovnici, například y se rovná minus x plus 2. Budeme tedy postupovat stejně. Toto má být náš průsečík s osou y, tedy 0 a 2, to je tady. A my se teď podíváme, jaká je naše směrnice. Toto si můžeme jednoduše představit jako minus jedna a tedy naše směrnice je minus jedna. A když se tedy u x posuneme o jedna, musíme u y o jedna, ale do minusu. A tedy když se tady u x posuneme o jedna do plusu, musíme tedy u y o jedno do minusu. A když se posuneme o 2 do plusu, u y musíme o 2 do minusu. Takže ta přímka se směrnicí minus 1 bude vypadat takto. Tak. Toto je tedy graf přímky zadané rovnicí y se rovná minus x plus 2. A jelikož je toto směrnicový tvar přímky, tak bylo pro nás jednoduché vyčíst všechny údaje, které jsme potřebovali. Toto je tedy průsečík s osou y, bod 0 a 2. A toto číslo nám znázorňuje směrnici přímky, která v našem případě je minus jedna.