Hlavní obsah

Základy algebry

Kurz: Základy algebry > Kapitola 4

Lekce 6: Úvod do směrnicového tvaru rovnic

Úvod do směrnicového tvaru lineárních rovnic

V tomto článku se dozvíš, jak vypadá směrnicový tvar lineárních rovnic se dvěma neznámými a jak pomocí něj určit směrnici přímky a její průsečík s osou y.

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Je třeba znát lineární rovnice o dvou neznámých. Přesněji řečeno je potřeba vědět, že grafem těchto rovnic je přímka. Pokud je toto pro tebe nové, podívej se na náš úvod do rovnic o dvou neznámých.
Dále je zapotřebí znát průsečíky přímky se souřadnicovými osami $x$ ‍ a $y$ ‍ a vědět, co je směrnice přímky.

Co se v tomto článku dozvíš

Co je směrnicový tvar rovnice přímky (respektive lineární rovnice)
Jak ze směrnicového tvaru rovnice přímky rychle určit její směrnici a průsečík s osou $y$ ‍
Jak určit rovnici přímky, známe-li její směrnici a průsečík s osou $y$ ‍

Co je to směrnicový tvar rovnice přímky?

Směrnicový tvar rovnice přímky je jeden z možných zápisů lineární rovnice o dvou neznámých. Obecně vypadá takto:

y = m x + b

Čísla

m

b

mohou být jakákoliv dvě reálná čísla. Podívejme se na pár příkladů lineárních rovnic ve směrnicovém tvaru:

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2, 7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
[Ale tato rovnice obsahuje x až v posledním členu!]

Na druhou stranu tyto lineární rovnice ve směrnicovém tvaru nejsou:

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

Směrnicový tvar je asi nejčastěji používanou formou zápisu lineárních rovnic o dvou neznámých. Věnujme se mu tedy víc do hloubky, abychom zjistili, proč tomu tak je.

Význam koeficientů lineární rovnice ve směrnicovém tvaru

Kromě toho, že směrnicový tvar lineární rovnice je elegantní a jednoduchý, nám tento tvar také poskytuje dvě důležité informace o přímce, která je danou rovnicí určena:

Směrnice této přímky je $m$ ‍.
$y$ ‍-ová souřadnice průsečíku této přímky s osou $y$ ‍ je rovna $b$ ‍. Jinými slovy, přímka protíná osu $y$ ‍ v bodě $[0; b]$ ‍.

Jako příklad vezměme přímku

y = 2 x + 1

. Tato přímka má směrnici

2

a osu

y

protíná v bodě

[0; 1]

Skutečnost, že ze směrnicového tvaru lineární rovnice snadno určíme směrnici příslušné přímky (a také její průsečík s osou

y

), je důvodem, proč tento tvar nazýváme právě směrnicový.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 1

Urči směrnici přímky, jejíž rovnice je $y = 5 x - 7$ ‍.

Příklad 2

Urči směrnici přímky, jejíž rovnice je $y = x + 9$ ‍.

Příklad 3

Který bod je průsečíkem přímky $y = - 6 x - 11$ ‍ s osou $y$ ‍?

Příklad 4

Který bod je průsečíkem přímky $y = 4 x$ ‍ s osou $y$ ‍?

Příklad 5

Urči směrnici přímky, jejíž rovnice je $y = 1 - 8 x$ ‍.

Příklad 6

Které z uvedených přímek protínají osu $y$ ‍ v bodě $[0; 4]$ ‍?

Kontrolní otázka

Jak určíme směrnici přímky, jejíž rovnice je ve směrnicovém tvaru?

Těžší příklad 1

Která z uvedených rovnic může být rovnicí zadané přímky?

Těžší příklad 2

Napiš rovnici přímky, jejíž směrnice je $10$ ‍ a jejímž průsečíkem s osou $y$ ‍ je bod $[0; - 20]$ ‍.

Proč to funguje?

Možná se teď divíš, proč je ve směrnicovém tvaru lineární rovnice číslo

m

rovno zrovna směrnici příslušné přímky a proč je číslo

b

právě

y

-ová souřadnice průsečíku této přímky s osou

y

Možná to je nějaký druh magie? Inu, magie to rozhodně není. V matematice má všechno své zdůvodnění. V této části se zaměříme na zmíněné dvě vlastnosti a jako příklad použijeme rovnici

y = 2 x + 1

Proč je $b$ ‍ rovno $y$ ‍-ové souřadnici průsečíku přímky s osou $y$ ‍

Průsečík libovolné přímky s osou

y

má vždy

x

-ovou souřadnici rovnou nule. Chceme-li tedy určit

y

-ovou souřadnici průsečíku přímky

y = 2 x + 1

s osou

y

, musíme do rovnice dosadit

x = 0

a spočítat

y

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & Dosadíme x = 0 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

Vidíme, že z výrazu

2 x

se stala nula, a tak nám zbylo

y = 1

[Chci vidět důkaz, že totéž platí i pro obecný tvar y=mx+b!]

Proč je $m$ ‍ rovno směrnici přímky

Připomeňme si, co to vlastně směrnice je. Směrnice je rovna podílu změny

y

-ové souřadnice a změny

x

-ové souřadnice při přechodu mezi dvěma libovolnými body na přímce.

Směrnice = \frac{Změna y -ové souřadnice}{Změna x -ové souřadnice}

Pokud si vybereme takové dva body na dané přímce, pro které je změna

x

-ové souřadnice rovna

1

, tak už je změna

y

-ové souřadnice přímo rovna samotné směrnici.

Směrnice = \frac{Změna y -ové souřadnice}{1} = Změna y -ové souřadnice

Nyní se podívejme na to, jak se změní

y

, když do rovnice

y = 2 x + 1

postupně dosadíme různé hodnoty

x

, které vždy zvětšíme o

1

jednotku.

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

Vidíme, že kdykoliv se

x

zvýší o

1

jednotku,

y

se zvýší o

2

jednotky. Důvodem je to, že při výpočtu

y

nám hodnota

x

říká, kolikrát máme přičíst číslo

2

Jak už bylo řečeno výše, pokud je změna

x

-ové souřadnice rovna

1

, tak už je změna

y

-ové souřadnice totéž co samotná směrnice. Z tohoto důvodu se směrnice naší přímky rovná

2

[Chci vidět důkaz, že totéž platí i pro obecný tvar y=mx+b!]

Těžší příklad 3

Dopiš rovnici zadané přímky.

y =

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.