Hlavní obsah
Základy algebry
Kurz: Základy algebry > Kapitola 4
Lekce 6: Úvod do směrnicového tvaru rovnic- Úvod do směrnicového tvaru lineárních rovnic
- Úvod do směrnicového tvaru lineárních rovnic
- Úvod do směrnicového tvaru rovnice přímky
- Jak nakreslit přímku s rovnicí ve směrnicovém tvaru
- Kreslení přímek s rovnicí ve směrnicovém tvaru
- Zakreslování přímek s rovnicí ve směrnicovém tvaru
- Kreslení přímek s rovnicí ve směrnicovém tvaru - shrnutí
Úvod do směrnicového tvaru lineárních rovnic
V tomto článku se dozvíš, jak vypadá směrnicový tvar lineárních rovnic se dvěma neznámými a jak pomocí něj určit směrnici přímky a její průsečík s osou y.
Co je před čtením tohoto článku třeba vědět
- Je třeba znát lineární rovnice o dvou neznámých. Přesněji řečeno je potřeba vědět, že grafem těchto rovnic je přímka. Pokud je toto pro tebe nové, podívej se na náš úvod do rovnic o dvou neznámých.
- Dále je zapotřebí znát průsečíky přímky se souřadnicovými osami x a y a vědět, co je směrnice přímky.
Co se v tomto článku dozvíš
- Co je směrnicový tvar rovnice přímky (respektive lineární rovnice)
- Jak ze směrnicového tvaru rovnice přímky rychle určit její směrnici a průsečík s osou y
- Jak určit rovnici přímky, známe-li její směrnici a průsečík s osou y
Co je to směrnicový tvar rovnice přímky?
Směrnicový tvar rovnice přímky je jeden z možných zápisů lineární rovnice o dvou neznámých. Obecně vypadá takto:
Čísla start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 a start color #0d923f, b, end color #0d923f mohou být jakákoliv dvě reálná čísla. Podívejme se na pár příkladů lineárních rovnic ve směrnicovém tvaru:
- y, equals, 2, x, plus, 1
- y, equals, minus, 3, x, plus, 2, comma, 7
- y, equals, 10, minus, 100, x
Na druhou stranu tyto lineární rovnice ve směrnicovém tvaru nejsou:
- 2, x, plus, 3, y, equals, 5
- y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
- x, equals, 4, y, minus, 7
Směrnicový tvar je asi nejčastěji používanou formou zápisu lineárních rovnic o dvou neznámých. Věnujme se mu tedy víc do hloubky, abychom zjistili, proč tomu tak je.
Význam koeficientů lineární rovnice ve směrnicovém tvaru
Kromě toho, že směrnicový tvar lineární rovnice je elegantní a jednoduchý, nám tento tvar také poskytuje dvě důležité informace o přímce, která je danou rovnicí určena:
- Směrnice této přímky je start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
- y-ová souřadnice průsečíku této přímky s osou y je rovna start color #0d923f, b, end color #0d923f. Jinými slovy, přímka protíná osu y v bodě open bracket, 0, ;, start color #0d923f, b, end color #0d923f, close bracket.
Jako příklad vezměme přímku y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f. Tato přímka má směrnici start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 a osu y protíná v bodě open bracket, 0, ;, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, close bracket:
Skutečnost, že ze směrnicového tvaru lineární rovnice snadno určíme směrnici příslušné přímky (a také její průsečík s osou y), je důvodem, proč tento tvar nazýváme právě směrnicový.
Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně
Proč to funguje?
Možná se teď divíš, proč je ve směrnicovém tvaru lineární rovnice číslo start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 rovno zrovna směrnici příslušné přímky a proč je číslo start color #0d923f, b, end color #0d923f právě y-ová souřadnice průsečíku této přímky s osou y.
Možná to je nějaký druh magie? Inu, magie to rozhodně není. V matematice má všechno své zdůvodnění. V této části se zaměříme na zmíněné dvě vlastnosti a jako příklad použijeme rovnici y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.
Proč je start color #0d923f, b, end color #0d923f rovno y-ové souřadnici průsečíku přímky s osou y
Průsečík libovolné přímky s osou y má vždy x-ovou souřadnici rovnou nule. Chceme-li tedy určit y-ovou souřadnici průsečíku přímky y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f s osou y, musíme do rovnice dosadit x, equals, 0 a spočítat y.
Vidíme, že z výrazu start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x se stala nula, a tak nám zbylo y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.
Proč je start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 rovno směrnici přímky
Připomeňme si, co to vlastně směrnice je. Směrnice je rovna podílu změny y-ové souřadnice a změny x-ové souřadnice při přechodu mezi dvěma libovolnými body na přímce.
Pokud si vybereme takové dva body na dané přímce, pro které je změna x-ové souřadnice rovna 1, tak už je změna y-ové souřadnice přímo rovna samotné směrnici.
Nyní se podívejme na to, jak se změní y, když do rovnice y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f postupně dosadíme různé hodnoty x, které vždy zvětšíme o 1 jednotku.
x | y | |||
---|---|---|---|---|
0 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f | ||
1 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | ||
2 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | ||
3 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | ||
4 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 |
Vidíme, že kdykoliv se x zvýší o 1 jednotku, y se zvýší o start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 jednotky. Důvodem je to, že při výpočtu y nám hodnota x říká, kolikrát máme přičíst číslo start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Jak už bylo řečeno výše, pokud je změna x-ové souřadnice rovna 1, tak už je změna y-ové souřadnice totéž co samotná směrnice. Z tohoto důvodu se směrnice naší přímky rovná start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.