If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Úvod do směrnicového tvaru lineárních rovnic

V tomto článku se dozvíš, jak vypadá směrnicový tvar lineárních rovnic se dvěma neznámými a jak pomocí něj určit směrnici přímky a její průsečík s osou y.

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Co se v tomto článku dozvíš

  • Co je směrnicový tvar rovnice přímky (respektive lineární rovnice)
  • Jak ze směrnicového tvaru rovnice přímky rychle určit její směrnici a průsečík s osou y
  • Jak určit rovnici přímky, známe-li její směrnici a průsečík s osou y

Co je to směrnicový tvar rovnice přímky?

Směrnicový tvar rovnice přímky je jeden z možných zápisů lineární rovnice o dvou neznámých. Obecně vypadá takto:
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
Čísla start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 a start color #0d923f, b, end color #0d923f mohou být jakákoliv dvě reálná čísla. Podívejme se na pár příkladů lineárních rovnic ve směrnicovém tvaru:
Na druhou stranu tyto lineární rovnice ve směrnicovém tvaru nejsou:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
Směrnicový tvar je asi nejčastěji používanou formou zápisu lineárních rovnic o dvou neznámých. Věnujme se mu tedy víc do hloubky, abychom zjistili, proč tomu tak je.

Význam koeficientů lineární rovnice ve směrnicovém tvaru

Kromě toho, že směrnicový tvar lineární rovnice je elegantní a jednoduchý, nám tento tvar také poskytuje dvě důležité informace o přímce, která je danou rovnicí určena:
  • Směrnice této přímky je start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
  • y-ová souřadnice průsečíku této přímky s osou y je rovna start color #0d923f, b, end color #0d923f. Jinými slovy, přímka protíná osu y v bodě open bracket, 0, ;, start color #0d923f, b, end color #0d923f, close bracket.
Jako příklad vezměme přímku y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f. Tato přímka má směrnici start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 a osu y protíná v bodě open bracket, 0, ;, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, close bracket:
Skutečnost, že ze směrnicového tvaru lineární rovnice snadno určíme směrnici příslušné přímky (a také její průsečík s osou y), je důvodem, proč tento tvar nazýváme právě směrnicový.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 1
Urči směrnici přímky, jejíž rovnice je y, equals, 5, x, minus, 7.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Příklad 2
Urči směrnici přímky, jejíž rovnice je y, equals, x, plus, 9.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Příklad 3
Který bod je průsečíkem přímky y, equals, minus, 6, x, minus, 11 s osou y?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Příklad 4
Který bod je průsečíkem přímky y, equals, 4, x s osou y?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Příklad 5
Urči směrnici přímky, jejíž rovnice je y, equals, 1, minus, 8, x.
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Příklad 6
Které z uvedených přímek protínají osu y v bodě open bracket, 0, ;, 4, close bracket?
Vyber všechny správné odpovědi.
Vyber všechny správné odpovědi.

Kontrolní otázka
Jak určíme směrnici přímky, jejíž rovnice je ve směrnicovém tvaru?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Těžší příklad 1
Která z uvedených rovnic může být rovnicí zadané přímky?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Těžší příklad 2
Napiš rovnici přímky, jejíž směrnice je 10 a jejímž průsečíkem s osou y je bod open bracket, 0, ;, minus, 20, close bracket.

Proč to funguje?

Možná se teď divíš, proč je ve směrnicovém tvaru lineární rovnice číslo start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 rovno zrovna směrnici příslušné přímky a proč je číslo start color #0d923f, b, end color #0d923f právě y-ová souřadnice průsečíku této přímky s osou y.
Možná to je nějaký druh magie? Inu, magie to rozhodně není. V matematice má všechno své zdůvodnění. V této části se zaměříme na zmíněné dvě vlastnosti a jako příklad použijeme rovnici y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.

Proč je start color #0d923f, b, end color #0d923f rovno y-ové souřadnici průsečíku přímky s osou y

Průsečík libovolné přímky s osou y má vždy x-ovou souřadnici rovnou nule. Chceme-li tedy určit y-ovou souřadnici průsečíku přímky y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f s osou y, musíme do rovnice dosadit x, equals, 0 a spočítat y.
y=2x+1=20+1Dosadıˊme x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Dosadíme }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Vidíme, že z výrazu start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x se stala nula, a tak nám zbylo y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.

Proč je start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 rovno směrnici přímky

Připomeňme si, co to vlastně směrnice je. Směrnice je rovna podílu změny y-ové souřadnice a změny x-ové souřadnice při přechodu mezi dvěma libovolnými body na přímce.
start text, S, m, e, with, \v, on top, r, n, i, c, e, end text, equals, start fraction, start text, Z, m, e, with, \v, on top, n, a, space, end text, y, start text, negative, o, v, e, with, \', on top, space, s, o, u, r, with, \v, on top, a, d, n, i, c, e, space, end text, divided by, start text, Z, m, e, with, \v, on top, n, a, space, end text, x, start text, negative, o, v, e, with, \', on top, space, s, o, u, r, with, \v, on top, a, d, n, i, c, e, space, end text, end fraction
Pokud si vybereme takové dva body na dané přímce, pro které je změna x-ové souřadnice rovna 1, tak už je změna y-ové souřadnice přímo rovna samotné směrnici.
start text, S, m, e, with, \v, on top, r, n, i, c, e, end text, equals, start fraction, start text, Z, m, e, with, \v, on top, n, a, space, end text, y, start text, negative, o, v, e, with, \', on top, space, s, o, u, r, with, \v, on top, a, d, n, i, c, e, space, end text, divided by, 1, end fraction, equals, start text, Z, m, e, with, \v, on top, n, a, space, end text, y, start text, negative, o, v, e, with, \', on top, space, s, o, u, r, with, \v, on top, a, d, n, i, c, e, space, end text
Nyní se podívejme na to, jak se změní y, když do rovnice y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f postupně dosadíme různé hodnoty x, které vždy zvětšíme o 1 jednotku.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
Vidíme, že kdykoliv se x zvýší o 1 jednotku, y se zvýší o start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 jednotky. Důvodem je to, že při výpočtu y nám hodnota x říká, kolikrát máme přičíst číslo start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Jak už bylo řečeno výše, pokud je změna x-ové souřadnice rovna 1, tak už je změna y-ové souřadnice totéž co samotná směrnice. Z tohoto důvodu se směrnice naší přímky rovná start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Těžší příklad 3
Dopiš rovnici zadané přímky.
y, equals