Sčítací metoda pro řešení soustavy rovnic: káva a pečivo

Jste v Pařížské kavárně s kamarádem. Místní před vámi si koupí šálek kávy a croissant za 5,30 euro. Když si Vy a Váš kamarád dáte 2 šálky kávy a 2 croissanty, je vám naúčtováno 14 euro. Lze zjistit cenu šálku kávy a croissantu, převedením informací v soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých? Jestliže ano, jaké je řešení? Jestliže ne, pak proč nemůžeme? Chceme zjistit dvě věci: cenu kávy a cenu croissantu. Zadefinujme si teď 2 proměnné. Protože zde máme všechny ty C, tak použiji ‚x‘ a ‚y‘. Nechť ‚x‘ je cena jedné kávy. A nechť ‚y‘ je cena 1 croissantu. Takže nejprve máme tuto informaci, co místní před námi udělal. Místní před námi kupuje 1 šálek kávy a 1 croissant za 5,30 euro. 5,30 euro, řekněme. Jak tedy nastavíme rovnici? No, dostali jsme 1 šálek kávy. Takže to bude 1x, nebo můžeme napsat jenom x, plus y, protože dostal 1 croissant, a to stálo 5,30 euro. Takže to je částka, kterou zaplatil. 5,30 euro. Tato rovnice popisuje, co se stalo místnímu. Koupil 1 šálek kávy, 1 croissant a zaplatil 5,30 euro. Teď, když Vy a Váš kamarád dostanete 2 šálky kávy a 2 croissanty, máte zaplatit 14 euro. Takže jaká rovnice toto popisuje? Měli bychom mít naúčtovanou dvojnásobnou cenu šálku kávy. Tak by to mělo být 2x. A pak bychom měli mít naúčtované 2 krát cenu croissantu, takže plus 2y. Součet všeho by měla být částka, kterou jsme zaplatili. To je 14 euro. Tak se pojďme podívat, zda lze vyřešit tento systém rovnic. Je zde hodně, hodně, hodně způsobů, jak to vyřešit. Ale nejjasnější způsob je, když se podíváme přímo sem, máme x a máme 2x, máme y, máme 2y. Nejprve vezmeme rovnici, která popisuje situaci místního a násobíme ji 2. Tak ji pojďme zdvojnásobit. Násobíme 2 obě strany, jinak rovnice už nebude pravdivá. Tak dostaneme 2x plus 2y a to se rovná 2 krát 5,30 je 10,60 euro. Teď se tady děje něco velmi zajímavého. Jestliže si místní koupil 2 krát více šálků káva a 2 krát více croissantů, tak měl platit 10,60. A to by mělo být přesné množství kávy a croissantů, které jste dostali za 14. Takže to vypadá jasně, že jste dostali naúčtováno jiné množství. Dostali jste turistickou sazbu za šálek kávy a croissantu, zatímco místní dostal ‚místní‘ sazbu. Lze to ověřit tak, že není žádné ‚x‘ a ‚y‘, které tomu vyhovuje. A i logicky to tady dává smysl. Tady 2x plus 2y je 14. Tady 2x plus 2y je 10,60 euro. Lze to ukázat i matematicky, že to nedává smysl. Takže když jsme odečetli tuto spodní rovnici od té horní, takže v podstatě si můžete představit, že násobíte celou spodní rovnici -1. Tak pojďme násobit celou spodní rovnici -1 a pak přidáme tyto 2 rovnice. Pamatujte, děláme jen to, že začínáme s touto rovnicí a přidáme to stejné na obě strany. Přidáme toto na tuto stranu. A už víme, že -10,60 je ta stejná věc jako tato, kterou přidáme na tuto stranu. Takže na levé straně zrušíme toto s tímto, toto s tímto, zde zůstala 0. A na pravé straně dostaneme 14 minus 10,60, to je 3,40. Není žádné ‚x‘ a ‚y‘, že najednou bude 0 rovna 3,40. Takže to nemá řešení. A jediné vysvětlení je to, že místní měl účtovanou levnější sazbu.