Zjednodušování lomených výrazů: pokročilé příklady (článek)

Co je před čtením tohoto článku třeba znát

Lomený výraz je podíl dvou mnohočlenů. Lomený výraz je zjednodušený, pokud jmenovatel a čitatel nemají společného dělitele.

Pokud ti to nezní povědomě, tak se koukni na úvod do zjednodušování lomených výrazů.

Co se v tomto článku dozvíš

Zde si procvičíš, jak se upravují složitější výrazy. Koukněme se na dva příklady a pak můžeš zkusit další samostatně.

1. příklad: Zjednoduš $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

Je dobré si uvědomit, že i když čitatel je jenom jeden člen, tak jej můžeme také rozložit.

$\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)}$ ‍

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že $x \neq 0$ ‍ a $x \neq 9$ ‍.

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

$\begin{aligned} \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} & = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} \\ = \frac{5 x^{2}}{x - 9} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz napíšeme takto:

$\frac{5 x^{2}}{x - 9}$ ‍ pro $x \neq 0$ ‍

[Proč tam je x≠0?]

Hlavní ponaučení

V tomto příkladu jsme viděli, že občas musíme na součin rozložit i jednočlenný výraz, abychom mohli lomený výraz zjednodušit.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

1) Zjednoduš $\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}}$ ‍.

[Potřebuji pomoc!]

2. příklad: Zjednoduš $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

Krok 1: Rozložení jmenovatele a čitatele

I když to nevypadá, jmenovatel a čitatel mají společného dělitele, totiž že výrazy

x - 3

3 - x

si jsou podobné. Ve skutečnosti stačí vytknout

- 1

z čitatele a dostaneme

x - 3

\begin{aligned} \frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (- 3 + x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} Komutativita - proměníme pořadí operací \end{aligned}

Krok 2: Zjištění hodnot, pro které výraz není definovaný, neboli určení podmínek.

Z rozloženého výrazu vidíme, že

x \neq 3

x \neq - 1

Krok 3: Zkrácení společných činitelů

\begin{aligned} \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 1)}{x + 1} \\ = \frac{1 - x}{x + 1} \end{aligned}

Poslední krok, tedy vynásobení

- 1

, nebyl nutný, ale většinou se to tak dělá.

Krok 4: Výsledek

Zjednodušený výraz je:

\frac{1 - x}{x + 1}

pro

x \neq 3

[Proč tam je x≠3?]

Hlavní ponaučení

Činitelé

x - 3

3 - x

jsou opační, jelikož

- 1 \cdot (x - 3) = 3 - x

V tomto příkladu jsme zkrátili tyto činitele, ale také přidali

- 1

. Jinak řečeno,

x - 3

3 - x

se zkrátí na

-1

Obecně se opačné výrazy

a - b

b - a

zkrátí na

- 1

, přičemž musí platit, že

a \neq b

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

2) Zjednoduš $\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍.

[Potřebuji pomoc!]

3) Zjednoduš $\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}}$ ‍.

pro

x \neq

[Potřebuji pomoc!]

Zkusme další příklady

4) Zjednoduš $\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x}$ ‍.

[Potřebuji pomoc!]

5) Zjednoduš $\frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3}$ ‍.

pro

x \neq

[Potřebuji pomoc!]

6) Zjednoduš $\frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}}$ ‍.

[Potřebuji pomoc!]

9. třída

Kurz: 9. třída > Kapitola 2

Zjednodušování lomených výrazů: pokročilé příklady

Co je před čtením tohoto článku třeba znát

Co se v tomto článku dozvíš

1. příklad: Zjednoduš $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Hlavní ponaučení

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

2. příklad: Zjednoduš $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

Hlavní ponaučení

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Zkusme další příklady

Chceš se zapojit do diskuze?

9. třída

Kurz: 9. třída > Kapitola 2

Co je před čtením tohoto článku třeba znát

Co se v tomto článku dozvíš

1. příklad: Zjednoduš 10x32x2−18x‍

Hlavní ponaučení

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

2. příklad: Zjednoduš (3−x)(x−1)(x−3)(x+1)‍

Hlavní ponaučení

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Zkusme další příklady

Chceš se zapojit do diskuze?

1. příklad: Zjednoduš $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

2. příklad: Zjednoduš $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍