Co je to obor hodnot?

Dnes si povíme něco o tom, co je to obor hodnot funkce. Pojďme si jenom prvně zopakovat, co to je funkce. My máme nějakou funkci, třeba naši klasickou funkci F a do ní vložíme nějaký platný vstup, můžeme ho klasicky nazvat x a poté dostaneme něco na výstupu, což v našem případě bude F(x) neboli F v bodě x. A my už víme, co to je definiční obor. To jsme řešili v minulém videu. Definiční obor je množina všech vstupů, pro které je daná funkce definovaná. Tedy množina všech platných vstupů, pro které funkce dá platné výstupy. Takže definiční obor už známe. Kdykoli se funkci pokusíme dát na vstupu něco, co není v definičním oboru, tak zjistíme, že jaksi nedostaneme žádný možný výstup. Funkce nám odmítne takový vstup mimo definiční obor zpracovat. Dobře, tak my už víme a máme a známe množinu všech možných vstupů, ale co možné výstupy z funkce? O těch jsme se ještě nebavili. A k tomu nám právě bude sloužit obor hodnot. Obor hodnot je také množina. Ale tentokrát to bude množina všech možných výstupů. Takže my do funkce vložíme nějakou hodnotu z definičního oboru. Ta funkce nám tu hodnotu zpracuje a dá nám něco na výstupu. A už z definice, když nám to dá na výstupu, tak takový výstup, taková hodnota, bude patřit do oboru hodnot funkce. Takže ještě jednou, do oboru hodnot patří všechny možné výstupy z funkce. Všechny hodnoty, které nám ta funkce je schopna na výstupu dát. Já to tu ještě napíšu, ať o tom máte trošku přehled. Takže je to množina všech možných výstupů funkce. Tady máme vstupy a tady máme výstupy. Pojďme si ukázat nějaký příklad. Můžeme to typicky nazvat F(x). F(x) bude rovno x na druhou. S definičním oborem už si určitě poradíme. Tak jaký bude definiční obor funkce? Vidíme, že vkládáme x a pak ho umocníme na druhou. Pohybujeme se v reálných číslech. Cokoliv vlastně můžeme umocnit na druhou, takže definiční obor budou všechna reálná čísla. Tam nemáme žádné omezení. A jak na tom bude ten obor hodnot? Zkuste se nad tím zamyslet a já bych vám pomohla. Tak vám tady náčrtnu, jak asi bude vypadat, zhruba samozřejmě, graf této funkce. Bude to velice zhruba. Ale myslím si, že se to z toho bude dát pochopit. Osa x, osa y. A teď si načrtneme graf té funkce. Je to graf vlastně y = F(x). Je to graf funkce zadané jako x na druhou. A když se bavíme o oboru hodnot, tak v tomto případě, jelikož se bavíme o možných výstupech, tak se bavíme o možných hodnotách y, které se nám na výstupu můžou objevit. A my vidíme, že y vlastně může být jakékoli. Je to parabola s vrcholem v počátku, takže y může být jakékoli ale pouze nezáporné. V záporných hodnotách tady nemáme žádnou možnost. A dává to smysl, poněvadž v reálných číslech, když cokoli umocníme na druhou, tak dostaneme nezápornou hodnotu. Možná vás ještě napadá, proč to tedy budou všechna nezáporná čísla? A ne jen některá. Vidíme to na grafu. Samozřejmě. Ale mohli bychom si to aspoň nějak intuitivně vysvětlit. Nedám vám tady přímý důkaz. Budou to všechna nezáporná čísla, protože když si vezmeme jakékoli nezáporné číslo tak z něj můžeme udělat odmocninu. Takže vlastně jakékoli nezáporné číslo je druhou mocninou nějakého jiného čísla. A tudíž všechna nezáporná čísla vznikla, nebo mohla potenciálně vzniknout, nějakou druhou mocninou a tedy oborem hodnot této funkce budou všechna nezáporná čísla. A jak bychom to zapsali? Oborem hodnot budou všechna nezáporná čísla. U definičního oboru už jsme se učili takové ty hezké matematické zápisy, tak si je zopakujeme. Takže y budou všechna reálná čísla. Tohleto je, že náleží do množiny reálných čísel a budou to reálná čísla, pro která platí, že y bude vždycky větší nebo rovno 0. Nezáporná čísla. Můžeme to napsat i zkráceně, že obor hodnot bude y je větší nebo rovno nule. Bez toho začátku. Protože víme, že se bavíme o reálných číslech. Pojďme si zkusit ještě jeden příklad. Tentokrát si dáme třeba g(x) a g(x) bude rovno x na druhou lomeno x. A hned vidíte, že tohle bychom mohli zjednodušit, ať to nemáme takové složité. Takže to se bude rovnat g(x) je rovno x na druhou lomeno x na prvou, to nám dává x. Jenom si teď dejte pozor na to, jestli jsme u toho zjednodušování nepřišli o nějakou informaci. No a to si pište, že přišli, jinak bych se neptala, že? Máme tady ve jmenovateli x. Takže rozhodně víme, že x se nemůže rovnat nule, protože kdyby x se rovnalo nule, tak bychom dostali 0 lomeno 0. 0 děleno nulou, což je nedefinovaný neurčitý výraz, se kterým my neumíme zatím pracovat. Takže toto zjednodušení platí pouze v případě, kdy přidáme podmínku, která se nám tady ztratila, že x se nebude rovnat nule. Teď už jsou ty 2 řádky naprosto ekvivalentní. Už je to v pořádku. A můžeme se přesunout na určování definičního oboru a oboru hodnot. Jaký bude definiční obor? Můžeme si opět pro představu udělat takový malý graf. I když já myslím, že vy docela dobře víte, jak to bude vypadat... Ale i tak. Zase zjednodušeně, máme x a y, vložíme do funkce x, dostaneme x. Takže vlastně to bude vypadat takto. Jenom nesmíme zapomenout na tu podmínku že X se nebude rovnat nule. Takže u nuly budeme mít prázdné kolečko. Takže jaký je tedy definiční obor? Vložím x, dostanu x. Tady s ním nedělám vlastně žádnou úpravu, takže to budou všechna reálná čísla kromě samozřejmě té nuly. X jsou všechna reálná čísla, pro která platí, že x se nesmí rovnat nule. To bylo jednoduché a ještě nám zbývá obor hodnot. Jaký bude obor hodnot? Jak už jsme řekli, my vložíme x a dostaneme zase x. Takže obor hodnot bude vlastně úplně obdobný y budou všechna reálná čísla taková, že y se nebude rovnat nule. My na výstupu dostaneme to samé, co jsme vložili na vstupu. Takže to budou všechna reálná čísla kromě té nuly, kterou nikdy na vstupu do funkce mít nemůžeme. To bylo myslím celkem jednoduché a tím bychom to mohli i zakončit. To, co byste si měli teď z toho videa odnést je, že definiční obor je množina všech možných vstupů do funkce a obor hodnot je množina všech možných výstupů z funkce.