Slovní úloha s konečnou geometrickou řadou: hypoteční splátky

V tomhle videu bych chtěl projít výpočty skrývající se za hypotečním úvěrem. A tohle nebude finanční video. Bude ve skutečnosti matematické. Ale zabývá se to, alespoň podle mě, jednou z nejzákladnějších otázek, která alespoň mně běží hlavou dlouhou dobu. Víte, že jsme si vzali tyhle úvěry, abychom koupili domy. Řekněme, že jste si vzali 200 000 dolarů hypoteční úvěr. Je zajištěn vaším domem. Budete ho platit 30 let nebo můžete říct, že to je 360 měsíců. Protože pokud normálně platíte splátky každý měsíc, úrok se normálně skládá na měsíční bázi. A řekněme, že platíte úrok 6 %. Tohle je roční úrok a obvykle ho skládají na měsíční bázi, takže 6 % děleno 12. Mluvíte o zhruba 0,5 % měsíčně. Běžně když dostanete úvěr jako tenhle, váš hypoteční makléř nebo váš bankéř se podívá do nějaké tabulky nebo naťuká čísla do nějakého počítačového programu. A řeknou: „Aha, OK, vaše splátka bude 1 200 dolarů měsíčně.“ A pokud budete platit 1 200 dolarů měsíčně 360 měsíců, na konci těchto 360 měsíců budete mít splacených 200 000 dolarů plus nějaký úrok, který se naakumuluje. Ale není jednoduché přijít na tohle číslo. Ukáži vám příklad, jak funguje skutečná hypotéka. V den 0 máte úvěr 200 000 dolarů. Neplatíte žádné hypoteční splátky. Zaplatíte vaši první hypoteční splátku ode dneška za měsíc. Tahle částka bude úročena 0,5 %, jako destinné číslo to je 0,005. Za měsíc spolu s úrokem tohle vzroste 200 000 krát 1 plus 0,005. Potom zaplatíte 1 200 dolarů. Bude to minus 1 200 nebo bych možná měl napsat 1,2 tisíce. Ale jen vám ukazuji tu myšlenku. A potom další měsíc, cokoli zbývá bude znovu úročeno 0,05 %, 1,005. A potom další měsíc se vrátíte zpět a zaplatíte těchto 1 200 dolarů znovu. Minus 1 200 dolarů. A tohle se stane 360 krát. Budete v tomhle pokračovat. A pokud se skutečně snažíte zjistit tohle číslo, na konci budete mít tenhle obrovský výraz, který bude mít tady 360 závorek… A na konci se to všechno bude rovnat 0. Protože poté, co jste zaplatili poslední splátku, splatili jste dům. Ale obecně jak zjistí tuhle splátku? Nazveme ji 'p'. Existuje nějaký matematický způsob, jak ji zjistit? Abychom to udělali, budeme trochu abstraktní. Řekněme, že 'L' se rovná výši úvěru. Řekněme, že 'i' se rovná měsíčnímu úroku. Řekněme, že 'n' se rovná počtu měsíců, kterými se zabýváme. A potom máme 'p', které se rovná vaší měsíční splátce, Něco z toho je úrok, něco z toho je jistina, ale je to stejná částka, kterou budete platit každý měsíc, abyste splatili tenhle úvěr plus úrok. Tohle je vaše měsíční splátka. Tenhle stejný výraz který jsem napsal zde, pokud bych ho napsal abstraktně, začínáte s výší úvěru 'L'. Po 1 měsíci se to úročí jako 1 plus 'i'. Takže to vynásobíte (1+i) krát. 'i' bylo v této situaci 0,005. Potom zaplatíte měsíční splátku 'p', takže minus 'p'. Tohle je na konci jednoho měsíce. Nyní vám stále zbývá nějaká část vašeho úvěru. To se nyní úročí během dalšího měsíce. Potom zaplatíte další splátku 'p'. A potom se tenhle proces zopakuje 300krát nebo nkrát, protože jsem abstraktní. Budete mít 'n' závorek. A potom, co jste tohle udělali nkrát, tohle všechno se bude rovnat 0. Moje otázka, ta, kterou jsem nastolil v tomhle videu, zní: „Jak to zjistíme 'p'?“ Víte, že pokud známe výši úvěru, pokud známe měsíční úrokovou sazbu, pokud známe počet měsíců, jak zjistíme 'p'? To nevypadá na jednoduše řešitelnou algebraickou rovnici. Podívejme se, zda s tím můžeme trochu pokročit. Podívejme se, zda to lze nějak uspořádat obecně. Začneme s příkladem, kde 'n' se rovná 1. Když 'n' se rovná 1, potom naše situace vypadá takhle: Vezmete si úvěr, úročíte ho na 1 měsíc, (1 plus 'i'), a potom platíte vaší měsíční splátku. Tohle byla hypotéka, která byla splacena za 1 měsíc, po jedné splátce je váš úvěr splacený. Nic vám nezbývá. Když budete hledat 'p', můžete nyní prohodit strany. Dostanete 'p' rovná se 'L' krát (1 plus 'i'). Nebo když vydělíte obě strany (1 plus 'i'), dostanete 'p' lomeno (1 plus 'i') rovná se 'L'. A můžete říct, že už máte 'p', proč dělat tohle? Udělám to, protože chci ukázat vzorec, který se objeví. Podívejme se, co se stane, když se 'n' rovná 2. Začnete s výší úvěru. Je úročený na 1 měsíc. Zaplatíte svou splátku. Potom tam zbývá nějaká částka. Ta se úročí na 1 měsíc. Potom zaplatíte druhou splátku. Nyní tahle hypotéka potřebuje jen dvě splátky a máte ji splacenou. Nezbývá vám žádný úvěr. Zaplatili jste celou jistinu a úrok. Nyní zjistíme 'p'. Vybarvím 'p'. Tohle 'p' udělám růžovou. Přidáme 'p' k obou stranám a strany prohodíme. Tohle zelené 'p' se rovná všemu tady. Rovná se 'L' krát (1 + 'i') minus tohle růžové 'p'. Jsou to stejná 'p', jen jsem vám chtěl ukázat, co se děje algebraicky. Minus tohle růžové 'p', krát (1 + 'i'). Teď, když vydělíte obě strany (1 + 'i'), dostanete 'p' děleno (1 + 'i') se rovná 'L' krát (1 + 'i') minus tohle růžové 'p'. Přidáme tohle růžové 'p' k oběma stranám této rovnice. Dostanete růžové 'p' plus tohle 'p' děleno (1 + 'i') se rovná 'L' krát (1 + 'i'). Vydělíme obě strany (1 + 'i'). Dostaneme růžové 'p' děleno (1 + 'i') plus zelené 'p', to stejné 'p', krát… už je to děleno (1 + 'i'), znovu to vydělíte (1 + 'i'), takže to bude děleno (1 + 'i') na druhou se rovná úvěru. Objevilo se něco zajímavého. Možná se budete chtít podívat na videa o 'současné hodnotě'. V této situaci, vezmete vaši splátku, ponížíte ji o vaši měsíční úrokovou sazbu, dostanete výši úvěru. Tady vezmete každou z vašich splátek, ponížíte ji, vydělíte ji 1 plus vaše měsíční úroková sazba umocněné počtem měsíců. Vlastně berete současnou hodnotu vašich splátek a ještě jednou vezmete výši vašeho úvěru. Možná si to chcete sami ověřit, pokud si chcete trochu procvičit algebru. Pokud to uděláte s 'n' se rovná 3. Nebudu to dělat jen kvůli času. Pokud uděláte 'n' se rovná 3, dostanete úvěr roven 'p' děleno (1 + 'i') plus 'p' děleno (1 + 'i') na druhou, plus 'p' děleno (1 + 'i') na třetí. Jestli máte čas, doporučuji, abyste si to sami dokázali použitím stejného procesu, který jsme tu dělali. Uvidíte, že to začne být trochu útrpné. Bude tam hodně věcí ke zpracování, ale nebude to trvat dlouho. Obecně, doufejme, jsem vám ukázal, že můžeme zapsat výši úvěru jako současnou hodnotu všech splátek. Můžeme říct, že obecně výše úvěru, pokud to zobecníme na 'n' místo 'n' rovná se číslo, můžeme říct, že se to rovná… Ve skutečnosti vynechám z té rovnice 'p', takže se to rovná 'p' krát 1 plus 1 děleno (1 + 'i') plus 1 děleno (1 + 'i') na druhou, plus… a uděláte to nkrát, plus 1 děleno (1 + 'i') na 'n'. Tohle možná poznáváte. Tohle tady je geometrická řada. A existují způsoby, jak vyřešit součet geometrické řady s libovolným koncem. Jak jsem slíbil na začátku videa, tohle bude použití geometrické řady. Rovná se suma 1 děleno (1 + 'i') na… použiji zde nějaké jiné písmeno… … na 'j', od 'j' se rovná 1. Tohle je umocněno na prvou, můžete to vidět jako první mocninu. … do 'j' se rovná 'n'. Tohle je ta suma. Podívejme se, zda existuje snadný způsob, jak spočítat tu sumu. Nechcete to dělat 360 krát. Jde to, dostanete číslo a potom byste dělili 'L' tím číslem a vyřešili byste 'p'. Ale musí být jednodušší způsob. Tak se podívejme, zda to můžeme zjednodušit. Jen abych usnadnil výpočet, řeknu definici. Řekněme, že 'r' se rovná 1 děleno (1 + 'i'). A celý tenhle součet nazvu 's'. Tenhle součet tady se rovná 's'. Potom řekneme-li, že 'r' se rovná každému z těchto výrazů, potom se 's' bude rovnat tomuhle… bude to 'r' na první. Nejprve napíšu 'r' na první, tohle bude 'r' na druhou, protože pokud umocníte na druhou čitatele, dostanete zase 1. Tohle je plus 'r' na druhou plus 'r' na třetí plus… … až k tomuhle, kde to je 'r' na 'n'. A ukážu vám malý trik. Vždycky zapomenu vzorec, takže tohle je dobrý způsob, jak zjistit součet geometrické řady, Vlastně se to dá použít, ke zjištění součtu nekonečné řady, pokud chcete, ale my se zabýváme konečnou. Vynásobíme 's' krát 'r'. 'r' krát 's' se bude rovnat čemu? Když vynásobíte každý z těchto výrazů 'r', vynásobíte 'r' na první krát 'r', dostanete 'r' na druhou. Vynásobíte 'r' na druhou krát 'r', dostanete 'r' na třetí. A pak v tom budete pokračovat, vynásobíte 'r'… Vidíte tady je 'r' na 'n' minus tohle tady… Vynásobíte to 'r'krát, dostanete 'r' na 'n'. A potom vynásobíte 'r' na 'n' krát 'r', dostanete plus 'r' na ('n' plus 1). Všechno tady jsou všechny tyhle výrazy vynásobené 'r' a dáme je pod stejný exponent. Nyní co můžete udělat je, že odečtete tenhle zelený řádek od tohohle růžového řádku. Pokud řekneme 's' minus 'r' krát 's', co dostaneme? Jen odečítám celý tenhle řádek od tohohle řádku. Dostanete 'r1' minus 0, takže dostanete 'r' na první minus nic tady. Pak máte 'r' na druhou, to se vykrátí 'r' na třetí se vykrátí. Všechno se to vykrátí, až k 'r' na 'n' minus 'r' na 'n', ale pak vám zbývá tenhle poslední výraz. A proto je to pěkný trik. Zůstane vám minus 'r' na ('n' plus 1). Vytkneme 's'. Dostanete 's' krát 1 minus 'r'… Všechno co jsem udělal je, že jsem vytknul 's'. To se rovná 'r' na první minus 'r' na ('n' plus 1). A nyní, když vydělíte obě strany (1 minus 'r'), dostanete váš součet. Váš součet se rovná 'r' minus 'r' na ('n' plus 1) děleno 1 minus 'r'. A tomu se rovná náš součet, kde jsme definovali 'r' tímto způsobem. Takže teď můžeme přepsat celý tenhle šílený vzorec. Můžeme říct, že výše našeho úvěru se rovná naší měsíční splátce krát tohle. Napíšu to zeleně. Krát 'r' minus 'r' na ('n' plus 1). Tohle všechno děleno 1 minus 'r'. Pokud se to snažíme vyřešit 'p', vynásobíte obě strany obrácením tohohle a dostanete 'p' se rovná výši vašeho úvěru krát obrácení tohohle. Píšu to růžovou, protože je to obrácené. 1 minus 'r' děleno 'r' minus 'r' na ('n' plus 1). Kde 'r' je tady, A jsme hotovi. Tohle je způsob, jak si můžete spočítat svojí skutečnou hypoteční splátku. Použijeme to ve skutečnosti. Řekněme, že se náš úvěr rovná 200 000 dolarů. Vaše úroková sazba se rovná 6 % ročně, což je 0,5 % měsíčně, což je to samé jako 0,005. Tohle je měsíční úroková sazba. A řekněme, že je to úvěr na 30 let, takže 'n' se bude rovnat 360 měsícům. Zjistíme, co dostaneme. První věc, kterou chceme udělat je, že chceme zjistit, jakou hodnotu má r. 'r' je 1 děleno (1 + 'i'). Vezmeme 1 děleno (1 plus 'i'), takže plus 0,005. Tohle je náš měsíční úrok, půl procenta. 'r' se rovná 0,995. Napíšu to - 0,995. Tahle kalkulačka neukládá proměnné, takže to sem jen napíšu. 'r' se rovná 0,995. Hned to použijeme. Přestávám být trochu precizní, ale myslím, že to bude OK. Hlavní věc je, že jsem vám chtěl představit tu myšlenku. Jaká je výše naší splátky? Vynásobíme výši našeho úvěru, to je 200 000 dolarů krát (1 minus 'r'), takže 1 minus 0,995 děleno 'r', což je 0,995 minus 0,995… na mocninu, 'n' je 360 měsíců, takže to bude 360 plus 1, tedy na 361. Něco, co určitě nespočítám z hlavy. A pak uzavřu závorky a moje konečná odpověď je zhruba 1 200 dolarů. Pokud to uděláte precizně, dostanete trochu méně než tohle, ale bude to zhruba 1 200 dolarů. Takže takhle jsme schopni zjistit výši naší skutečné hypoteční splátky. 'p' se rovná 1 200 dolarů. Tohle byl celkem efektní výpočet, abychom zjistili něco, s čím se většina lidí zabývá každý den, ale nyní znáte skutečný výpočet, který za tím je. Nemusíte si hrát s nějkou tabulkou, abyste zkusmo dostali číslo.