3. Dokončení důkazu

(zvuk pružiny) V minulém cvičení jsme si ukázali, že délka úsečky OA je rovna r kosinus theta. Ale proč? Nejprve si všimněte, že body OPA tvoří pravoúhlý trojúhelník. Můžeme tedy použít funkce sinus a kosinus. OA je strana přilehlá k thetě. To znamená, že délka OA se rovná r krát kosinus theta. Podobně se AP čarou rovná r sinus theta. Musíme tedy dokázat, že úhel DP'A je shodný s fí. Máme tu totiž podobné trojúhelníky. Zejména tento a tento trojúhelník vypadají podobně. Abychom to viděli, podívejme se, že tento úhel má stejnou velikost jako tento úhel. Jelikož se jedná o vrcholové úhly a tento úhel má velikost 90°, musí to mít i tento. To znamená, že tyto trojúhelníky mají dva shodné úhly. Musí tedy mít stejný i třetí úhel, protože všechny 3 úhly musí mít v součtu 180°. Tím pádem velikost úhlu CP'A je shodná s fí. Nyní jsme připraveni. Další věc, kterou hledáme, je délka OC, protože to je x s čarou. Jak jsme už zjistili, délka OC se rovná délce OB minus délka BC. Tedy x s čarou se rovná OB minus BC. A protože se BC rovná AD, můžeme napsat, že x s čarou se rovná OB minus AD. Ale čemu se rovná OB? Je to strana přilehlá k úhlu fí, tedy kosinus fí se rovná OB děleno OA. A my víme, že OA se rovná r krát kosinus theta. Tedy kosinus fí se rovná OB děleno r krát kosinus theta. A OB se rovná r krát kosinus theta krát kosinus fí. Tedy OB se rovná r kosinus fí krát kosinus theta. Ale my víme, že r krát kosinus fí je x, proto se OB rovná x kosinus theta. A čemu se rovná AD? AD je protilehlou stranou k fí v trojúhelníku DP'A. Sinus fí se tedy rovná AD děleno AP s čarou. A víme, že AP s čarou se rovná r krát sinus theta. Tedy sinus fí se rovná AD děleno r krát sinus theta, což znamená, že AD se rovná r krát sinus theta krát sinus fí. Tento výraz můžeme upravit a získáme r krát sinus fí krát sinus theta a víme, že r krát sinus fí je y. AD se tedy rovná Y sinus theta. To značí, že x s čarou se rovná x krát kosinus theta minus y krát sinus theta. Už jsme v půlce. Nyní musíme zjistit, čemu se rovná y s čarou. CP' je y', a to můžeme psát jako CP' rovná se DP' plus AB. DP' je přilehlá k fí, kosinus fí se tedy rovná DP' děleno AP'. Ale AP' je r krát sinus theta. Kosinus fí se tedy rovná DP' děleno r krát sinus theta. A DP' se rovná r krát sinus theta krát kosinus fí, což se rovná x krát sinus theta. AB je stranou protilehlou k fí, proto se sinus fí rovná AB děleno OA. OA je r krát kosinus theta, fí se tedy rovná AB děleno r krát kosinus theta A to znamená, že AB se rovná r krát sinus fí krát kosinus theta. Ale r krát sinus fí je y, AB se tedy rovná y krát kosinus theta. Dohromady to znamená, že y s čarou se rovná x krát sinus theta plus y krát kosinus theta. Jé! Zvládli jsme to! Když to shrneme, x s čarou se rovná x krát kosinus theta minus y krát sinus theta a y s čarou se rovná x krát sinus theta plus y krát kosinus theta. Zvládli jste to až do konce a viděli jste skvělý a užitečný vzorec. Ať děláte počítačovou grafiku nebo stavíte mosty nebo provádíte výpočty polohy, uvidíte, že tyto vzorce znovu a znovu a znovu potkáte. Následující cvičení můžete využít k jejich procvičení.