2. Otočení z pohledu geometrie

(zvuky poskakování) Nyní známe souřadnice pár speciálních bodů po jejich otočení. Abychom mohli vytvořit softwarové nástroje pro nastavení záběrů, potřebujeme přesné vzorce, které nám prozradí, kam se přesune libovolný bod po otočení o určitý úhel. Když začneme s libovolným bodem [x;y], rádi bychom znali souřadnice bodů x s čarou a y s čarou, tedy souřadnice tohoto bodu po otočení. Vzorce nejsou příliš komplikované, vypadají takto. X s čarou se rovná x krát kosinus theta minus y krát sinus theta. Y s čarou se rovná x krát sinus theta plus y krát kosinus theta. Tedy pokud známe x, y a theta, můžeme spočítat x s čarou a y s čarou. Odkud se tyto vzorce vzaly? Existuje několik způsobů, jak se k nim dopracovat. Jeden z nich využívá vlastností lineárních zobrazení. Zajímá vás víc o lineárních zobrazení? Klikněte na link pod videem! Jednodušším způsobem, jak získat vzorce, je ze základních goniometrických definic. Zabere nám to trochu práce, vyhrňte si rukávy a sepněte vlasy. (pískání větru) (natahování zbraně) Pojmenujme počáteční bod P a bod, kam se otočí, bod P s čarou. Budeme potřebovat další body, které nám pomohou, vraťme se tedy k tomu, co už známe, a rozeberme si náš problém. Nejprve pojďme otočit diagramem a představme si OP na ose x. Toto vypadá jako situace, kterou jsme viděli v předchozím videu, když jsme otáčeli bodem [1;0] na ose x. Spusťme kolmici z P s čarou na osu x a definujme nový bod A. Nyní pojďme otočení vrátit a spusťme kolmici z bodu A na osu x a definujeme nový bod B. Podobně spustíme kolmici z bodu P s čarou, abychom získali bod C. Podívejte se na x-ovou souřadnici bodu A, úsečka OB, je větší než x-ová souřadnice bodu P s čarou, úsečka OC. Musíme tedy odečíst určité množství. Množství, které odečteme, je délka nové úsečky AD. Připomeňme si, že souřadnice bodu P' jsou definovány úsečkou OC, pro x-ovou souřadnici, a úsečkou CP pro souřadnici Y. Nakonec spustíme kolmici z bodu P na osu x a získáme tak bod E. Tento diagram má všechny informace, které potřebujeme. Pojďme si procvičit použití diagramu odvozením několika vzorců, které budeme potřebovat později. Označíme ,r' jako vzdálenost mezi O a P. Fí je úhlem, který OP svírá s osou x. Vzdálenost EP je y a vzdálenost OE je x. EP je protilehlé k fí, tedy sinus fí se rovná EP děleno r. Ale EP je y, tedy sinus fí se rovná y děleno r. To tedy znamená, že y se rovná r sinus fí. Podobně OE je přilehlé k fí, tedy kosinus fí se rovná OE děleno r. Ale OE je x, tedy kosinus fí se rovná x děleno r, to tedy znamená, že x se rovná kosinu fí. Wow, to bylo hodně goniometrie! Než budete pokračovat, zkuste odpovědět na několik obecných otázek ohledně tohoto diagramu v následujícím cvičení. Hodně štěstí.