Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

4. Jakého stupně jsou tyto křivky?

Bonus! V tomto videu si ukážeme vykreslení křivek spolu s jejich stupni a počtem ovládacích bodů.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Už známe geometrii Bézierových křivek, teď se podíváme na algebru. Začneme s mnohoúhelníkem se 3 body. Tak jako předtím sestrojíme bod Q pomocí lineární interpolace. Bude uprostřed na úsečce AB. Algebraicky lze Q zapsat jako Q = (1−t)A + tB. Dále sestrojíme bod R na úsečce BC, takže bod R lze zapsat jako R = (1−t)B + tC. Nakonec spojíme body Q a R a provedeme poslední lineární interpolaci, abychom získali bod P, vrchol na křivce. P = (1−t)Q + tR. Z této poslední rovnice se zdá, že souřadnice bodu P jsou závislé lineárně na t. Ale první dvě rovnice také závisí lineárně na parametru t. Vložíme první dvě rovnice do třetí rovnice a získáme tento kombinovaný výraz. Po vynásobení a uspořádání členů můžu zapsat P jako P = (1-t)2A + 2t(1-t)B +t2C. Všechny tyto členy na druhou ukazují na to, že P je mnohočlen druhého stupně. Je to zajímavé, že mnohoúhelník se 3 body dá mnohočlen druhého stupně. Dává to smysl, protože jsme lineární interpolaci provedli dvakrát. V první fázi jsme vypočetli body Q a R a v druhé fázi bod P. Jaký budeme mít stupeň, pokud začneme s mnohoúhelníkem se 4 body? Dokázali byste si tipnout? V první fázi vypočítám 3 body pomocí lineární interpolace. V druhé fázi vypočítám 2 body a ve třetí fázi vypočítám 1 bod. Jelikož mám tři fáze, výsledná křivka bude třetího stupně. To znamená, že mnohoúhelník se 4 body dá křivku třetího stupně. De Casteljauův algoritmus lze generalizovat a dá se použít s 5 a 6 body nebo jakýmkoliv počtem bodů. Pravidlo zní tak, že pokud začneme s n body, získáme mnohočlen n−1 stupně. Elegantní pravidlo. Gratuluji k dokončení této lekce. Pokud si věříte, zkuste následující bonus.