4. Jakého stupně jsou tyto křivky?

Už známe geometrii Bézierových křivek, teď se podíváme na algebru. Začneme s mnohoúhelníkem se 3 body. Tak jako předtím sestrojíme bod Q pomocí lineární interpolace. Bude uprostřed na úsečce AB. Algebraicky lze Q zapsat jako Q = (1−t)A + tB. Dále sestrojíme bod R na úsečce BC, takže bod R lze zapsat jako R = (1−t)B + tC. Nakonec spojíme body Q a R a provedeme poslední lineární interpolaci, abychom získali bod P, vrchol na křivce. P = (1−t)Q + tR. Z této poslední rovnice se zdá, že souřadnice bodu P jsou závislé lineárně na t. Ale první dvě rovnice také závisí lineárně na parametru t. Vložíme první dvě rovnice do třetí rovnice a získáme tento kombinovaný výraz. Po vynásobení a uspořádání členů můžu zapsat P jako P = (1-t)2A + 2t(1-t)B +t2C. Všechny tyto členy na druhou ukazují na to, že P je mnohočlen druhého stupně. Je to zajímavé, že mnohoúhelník se 3 body dá mnohočlen druhého stupně. Dává to smysl, protože jsme lineární interpolaci provedli dvakrát. V první fázi jsme vypočetli body Q a R a v druhé fázi bod P. Jaký budeme mít stupeň, pokud začneme s mnohoúhelníkem se 4 body? Dokázali byste si tipnout? V první fázi vypočítám 3 body pomocí lineární interpolace. V druhé fázi vypočítám 2 body a ve třetí fázi vypočítám 1 bod. Jelikož mám tři fáze, výsledná křivka bude třetího stupně. To znamená, že mnohoúhelník se 4 body dá křivku třetího stupně. De Casteljauův algoritmus lze generalizovat a dá se použít s 5 a 6 body nebo jakýmkoliv počtem bodů. Pravidlo zní tak, že pokud začneme s n body, získáme mnohočlen n−1 stupně. Elegantní pravidlo. Gratuluji k dokončení této lekce. Pokud si věříte, zkuste následující bonus.