2. Opakovaná lineární interpolace

Když už znáte lineární interpolaci, podíváme se, jak dosáhnout plynulejšího pohybu pomocí Bézierových křivek. Tvar úseku této křivky je dán čtyřmi body. Jak tedy bude vypadat rovnice, díky které budeme mít plynulou křivku z těchto čtyř bodů? Možná si pamatujete, že něco podobného jsme řešili v lekci modelování prostředí. Tehdy jsme chtěli vytvořit zahnutá stébla trávy. Viděli jsme, jak použít tři body k sestavení parabolického oblouku pomocí metody s provázky. Zopakujeme si, jak tato metoda funguje. Máme body A, B a C a také parametr t, který říká, jak daleko jsme v dané úsečce. Nejdříve si můžeme vypočítat bod na úsečce AB pomocí váženého průměru těchto dvou bodů. Tohle je další typ lineární interpolace. Místo explicitního tvaru ale používáme takzvaný parametrický tvar. Parametr t nám řekne, jak daleko na úsečce jsme. Když se t posouvá od 0 k 1, náš nový bod Q jde od A k B. Zopakujeme to samé pro další úsečku a vypočítáme bod R mezi body B a C. Nakonec použijeme stejný způsob mezi body Q a R, kde leží bod P, který určuje vrchol křivky. Jak se t přibližuje od 0 k 1, P vykresluje plynulou křivku. Tato konstrukční metoda je taková opakovaná lineární interpolace. Body Q, R a P jsou totiž vypočítány pomocí lineárních funkcí t. Této opakované lineární interpolaci se říká De Casteljauův algoritmus. Jmenuje se podle Paula deCastlejaua, který ve skutečnosti tuto metodu objevil o pár let dříve než Pierre Bézier, ale nemohl ji zveřejnit, dokud ho Bézier nepředběhl. Viděli jsme, jak použít De Casteljauův algoritmus k vytvoření plynulé křivky za pomocí tří bodů, ale v animaci potřebujeme body čtyři, abychom mohli křivku upravovat. Vezměte si tužku a papír a vyzkoušejte si, jestli zvládnete sestrojit plynulou křivku ze čtyř bodů místo tří.