Podmíněná pravděpodobnost názorně

Tentokrát se podíváme na trochu jiný postup při výpočtu podmíněné pravděpodobnosti. Jako vždy doporučuji video zastavit a vyřešit úlohu samostatně. Nejprve si pojďme ujasnit zadání. Představme si, že Mirka má nějaký neprůhledný sáček, ze kterého náhodně vybere jednu ze dvou mincí. V sáčku jsou dvě mince, jedna spravedlivá, kdy padá panna i orel se stejnou pravděpodobností, a druhá nespravedlivá, která má na obou stranách orla, tedy vždy padá orel. Mirka náhodně vytáhne minci, nekoukne se na ni, neví jaká to je a hodí s ní. Ví, že na této minci padl orel a otázkou je, jaká je pravděpodobnost, že Mirka vytáhla spravedlivou minci. Jinými slovy počítáme pravděpodobnost vytažení spravedlivé mince za podmínky, že padl orel. Mohli bychom použít Bayesovu větu, ale my to neuděláme. Použijeme takzvaný strom možností. Zakreslíme si nebo znázorníme celý tento proces, a uvidíme všechny možné výsledky. Nejprve tedy vybíráme minci, to nám situaci rozvětví na dvě možnosti, spravedlivá a nespravedlivá mince. Ať už vybereme kteroukoliv minci, tak s ní hodíme a to nám rozdělí situaci na další dvě možnosti. U spravedlivé možnost panna a orel, u nespravedlivé je to dvakrát orel. Pozor, je důležité oba dva orly zakreslit, protože jsou to různé strany mince a z hlediska pravděpodobnosti je musíme rozlišit. Nyní už můžeme podmíněnou pravděpodobnost vypočítat přímo z definice. Je to zlomek, kdy ve jmenovateli máme počet všech možných výsledků, které splňují danou podmínku, vyškrtneme tedy variantu panna a vidíme, že nám zbývají tito orli, což jsou tři možné výsledky. Příznivý výsledek je pouze tento orel na spravedlivé minci. A ten je jeden jediný. Výsledek je tak jedna třetina. Všimněme si, že to je méně než jedna polovina. Dokud jsme s mincí nehodili, bylo to padesát na padesát, jestli jsme vybrali spravedlivou nebo nespravedlivou. Ale jakmile s mincí začneme házet a dostávat další informace, tak to znamená, že proškrtáváme strom všech možných výsledků, a díky tomu se nám začíná měnit tento poměr. Pokud padne orel, změní se ve prospěch nespravedlivé mince. Schválně zvažme ještě situaci, kdy mincí znovu hodíme a padne opět orel, tedy minci, o které na začátku nic nevíme, jsme hodili dvakrát a vždy padl orel. Zajímá nás tak pravděpodobnost, že je to spravedlivá mince za podmínky, že padl dvakrát orel. Musíme tedy udělat další patro v našem stromě, budeme pokračovat už jen z možných výsledků. Nemožné už nebudeme dál rozvíjet. A všechny se nám rozvětví zase na další dvě možnosti, u spravedlivé mince je to panna, orel, u nespravedlivé mince je to vždy dvakrát orel. Při výpočtu budeme postupovat úplně stejně jako minule, ve jmenovateli zlomku bude počet všech možných výsledků s danou podmínkou, tedy pannu vyškrtneme a zbude nám pět různých výsledků s orlem. Pouze jeden jediný vyhovuje naší podmínce, že se jedná o spravedlivou minci. Výsledek je jedna pětina. Kdybychom mincí házeli dál a padali opět samí orli, pak by se pravděpodobnost, že se jedná o spravedlivou minci dále snižovala, poměrně rychle by se snižovala, ale nikdy by však nebyla nulová. Naopak jakmile by nám padla jedna panna, je jasné, že máme spravedlivou minci, protože na nespravedlivé, tak jak to zde máme zadáno, padnout nemůže. Pojďme se podívat na ještě trochu zapeklitější příklad. Tentokrát máme tři mince, dvě jsou spravedlivé a jedna nespravedlivá. Ale tentokrát není tolik nespravedlivá. Je zařízená tak, že pravděpodobnost, že padne panna, je jedna třetina a pravděpodobnost, že padne orel, jsou zbývající dvě třetiny. Opět z těchto třech mincí jednu náhodně vybereme, nevíme kterou, a hodíme s ní, a padl orel, překvapivě. Pro změnu nás bude zajímat, jaká je pravděpodobnost, že se jedná o nespravedlivou minci za podmínky, že na ní padl orel. Pojďme opět zkusit přístup se stromem všech možných výsledků. Tentokrát se nám v prvním kroku situace dělí na tři možnosti. Máme zde totiž dvě spravedlivé mince a jednu nespravedlivou. A dále se nám dělí vždy na dvě možnosti. U spravedlivých mincí je to jasné. Tam padne panna nebo orel. A u nespravedlivé je to tentokrát také panna a orel. Jenže to nejsou stejně možné výsledky, to znamená, že nemůžeme přímo toto použít k výpočtu pravděpodobnosti. Panna na nespravedlivé padá pouze s pravděpodobností jedna třetina. Orel s pravděpodobností dvě třetiny. Tyto skutečnosti, tyto hodnoty musíme nějak zakomponovat do výpočtu pravděpodobnosti. Uděláme to tak, že i u spravedlivých mincí si dopíšeme pravděpodobnosti, že na nich padne panna nebo orel. A nyní už nemáme jednotlivé možné výsledky. To už zde není možné použít, ale máme pravděpodobnosti jakýchsi elementárních jevů, základních jevů, a z nich můžeme sestavit podmíněnou pravděpodobnost. Budeme postupovat stejně, akorát místo výsledku budeme počítat pravděpodobnosti elementárních jevů. Podmínka tedy říká, že padl orel. To znamená vyškrtneme situace, kdy padla panna, a sečteme zbývající pravděpodobnosti, to je polovina a polovina ze spravedlivých mincí a dvě třetiny z nespravedlivé. V čitateli pak máme příznivý jev, což je orel na nespravedlivé minci, a ten má elementární pravděpodobnost dvě třetiny. Nejprve sečteme zlomky ve jmenovateli, tak že je převedeme na šestiny, dostáváme výsledek 10 šestin. Dvě třetiny pouze opíšeme. Nyní můžeme upravit výsledný složený zlomek. Můžeme krátit čitatele i jmenovatele a dostáváme tak ve jmenovateli poloviny a bude jich pět. Je to ale ve jmenovateli. Proto musíme zlomek převrátit a dostaneme tak pravděpodobnost dvě pětiny neboli 40 procent. Všimněme si, že to je více než jedna třetina, tedy tím, že nám na neznámé minci padl orel, se pravděpodobnost, že se jedná o nespravedlivou, o něco zvýšila.