Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Co je to modulární aritmetika?

Úvod do modulární aritmetiky

Když dělíme dvě celá čísla, dostaneme rovnici, která vypadá nějak takto:
AB=Q a zbytek R
A je dělenec
B je dělitel
Q je podíl
R je zbytek
Někdy nás zajímá jen jaký je zbytek po dělení čísla A číslem B.
Pro tyto případy je operátor zvaný modulo (zkráceně „mod“).
Použitím stejných A, B, Q a R jako výše, dostaneme: A mod B=R
Čteme jako A modulo B je rovno R, kde je B je někdy označováno jako modulus.
Například:
135=2 zbytek 313 mod 5=3

Znázornění operace modulo pomocí hodin.

Všimni si, co se děje, když zvyšujeme čísla o 1 a pak je dělíme 3.
03=0 zbytek 013=0 zbytek 123=0 zbytek 233=1 zbytek 043=1 zbytek 153=1 zbytek 263=2 zbytek 0
Zbytek začíná na 0 a pokaždé se zvětší se o 1, dokud nedosáhne čísla o jedno menší, než je číslo, kterým dělíme. Poté se posloupnost čísel opakuje.
Když jsme si tohoto všimli, můžeme si operátor modulo znázornit pomocí kružnice.
Nahoru na kružnici napíšeme 0 a pokračujeme psaním celých čísel 1, 2, … až do čísla o jedno menší, než je modulus.
Například hodiny s 12 vyměněnou za 0 jsou kružnicí pro modulo 12.
Abychom nalezli A mod B držme se těchto kroků:
  1. Sestavme hodiny pro velikost B
  2. Začněme na 0 a a pokračujme dále po A krocích
  3. Kam se dostaneme, to je výsledek.
(Je-li číslo kladné, postupujeme ve směru hodinových ručiček, je-li záporné postupujeme proti směru hodinových ručiček.)

Příklady

8 mod 4=?

Pro modulus = 4 vytvoříme hodiny s čísly 0, 1, 2, 3.
Začneme na 0 a pokračujeme přes 8 čísel ve směru hodinových ručiček v posloupnosti 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0.
Skončíme na 0, takže 8 mod 4=0.

7 mod 2=?

Pro modulus = 2 vytvoříme hodiny s čísly 0, 1.
Začneme na 0 a pokračujeme přes 7 čísel ve směru hodinových ručiček v posloupnosti 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1.
Skončili jsme na 1, takže 7 mod 2=1.

5 mod 3=?

Pro modulus = 3 vytvoříme hodiny s čísly 0, 1, 2.
Začneme na 0 a pokračujeme přes 5 čísel proti směru hodinových ručiček v posloupnosti (5 je záporné) 2, 1, 0, 2, 1.
Skončili jsme na 1, takže 5 mod 3=1.

Závěr

Máme-li A mod B a navýšíme A o násobek čísla B, skončíme na stejném místě, tedy:
A mod B=(A+KB) mod B pro libovolné celé číslo K.
Například:
3 mod 10=313 mod 10=323 mod 10=333 mod 10=3

Poznámky pro čtenáře

„mod“ v programovacích jazycích a kalkulačkách

Mnoho programovacích jazyků a kalkulaček mají operátor mod typicky znázorněný symbolem %. Budeš-li počítat pro záporné číslo, některé jazyky dají záporný výsledek.
Například:
-5 % 3 = -2.

Kongruence Modulo

Někdy se můžeš setkat s výrazem:
AB (mod C)
Ten tvrdí, že A je kongruentní B modulo C. To je podobné, jako výrazy používané zde, nicméně ne zcela stejné.
V následujícím článku vysvětlíme co to znamená a jak to souvisí s výrazy výše.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.