If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Modulární násobení

Prozkoumejme vlastnost násobení pro modulární aritmetiku:

(A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C

Příklad násobení:

Nechť A=4, B=7, C=6
Ověřme: (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C
LSR= Levá strana rovnice
PSR= Pravá strana rovnice
LSR = (A * B) mod C
LSR = (4 * 7) mod 6
LSR = 28 mod 6
LSR = 4
PSR = (A mod C * B mod C) mod C
PSR = (4 mod 6 * 7 mod 6) mod 6
PSR = (4 * 1) mod 6
PSR = 4 mod 6
PSR = 4
LSR = PSR = 4

Důkaz vztahu pro modulární násobení

Dokážeme platnost (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C.
Musíme ukázat, že platí LHS = RHS.
Z Věty o dělení se zbytkem lze psát A a B jako:
A = C * Q1 + R1, kde 0 ≤ R1 < C a Q1 je celé číslo. A mod C = R1
B = C * Q2 + R2, kde 0 ≤ R2 < C a Q2 je celé číslo. B mod C = R2
LSR = (A * B) mod C
LSR = ((C * Q1 + R1 ) * (C * Q2 + R2) ) mod C
LSR = (C * C * Q1 * Q2 + C * Q1 * R2 + C * Q2 * R1 + R1 * R 2 )  mod C
LSR = (C * (C * Q1 * Q2 + Q1 * R2 + Q2 * R1)  + R1 * R 2 )  mod C
Násobků C se zbavíme působením mod C.
LSR = (R1 * R2) mod C
Nyní se pusťme do PSR.
PSR = (A mod C * B mod C) mod C
PSR = (R1 * R2 ) mod C
Tedy PSR = LSR
LSR = PSR = (R1 * R2 ) mod C

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.