Hlavní obsah

Rychlé modulární umocňování

Učebna Google

Jak lze snadno spočítat A^B mod C, je-li B mocninou čísla 2?

Pomocí pravidel modulárního násobení:

tedy A^2 mod C = (A * A) mod C = ((A mod C) * (A mod C)) mod C.

Toto můžeme použít k rychlému výpočtu 7^256 mod 13 .

7^1 mod 13 = 7
7^2 mod 13 = (7^1 *7^1) mod 13 = (7^1 mod 13 * 7^1 mod 13) mod 13

Můžeme dosadit předchozí výsledek pro 7^1 mod 13 do této rovnice.

7^2 mod 13 = (7 *7) mod 13 = 49 mod 13 = 10
7^2 mod 13 = 10

7^4 mod 13 = (7^2 *7^2) mod 13 = (7^2 mod 13 * 7^2 mod 13) mod 13

Do této rovnice můžeme dosadit předchozí výsledek pro 7^2 mod 13.

7^4 mod 13 = (10 * 10) mod 13 = 100 mod 13 = 9
7^4 mod 13 = 9

7^8 mod 13 = (7^4 * 7^4) mod 13 = (7^4 mod 13 * 7^4 mod 13) mod 13

Do této rovnice můžeme dosadit předchozí výsledek pro 7^4 mod 13.

7^8 mod 13 = (9 * 9) mod 13 = 81 mod 13 = 3
7^8 mod 13 = 3

Tímto způsobem pokračujeme, dosazujeme předchozí výsledky do dalších rovnic.

…po pěti iteracích dostaneme:

7^256 mod 13 = (7^128 * 7^128) mod 13 = (7^128 mod 13 * 7^128 mod 13) mod 13
7^256 mod 13 = (3 * 3) mod 13 = 9 mod 13 = 9
7^256 mod 13 = 9

Toto je metoda k rychlému výpočtu A^B mod C za předpokladu, že B je mocnina 2.

Potřebujeme však i metodu pro rychlé modulární mocnění, když B není mocninou 2.

Jak lze snadno spočítat A^B mod C, pro libovolné B ?

Krok 1: Rozděl B na mocniny 2 přepisem do binární soustavy.

Začněme na číslici úplně vpravo. Začneme s k=0 a pro každou číslici opakujeme následující postup:

Je-li číslice 1, potřebujeme započítat 2^k, v opačném případě nezapočítáme nic.
Přidej 1 k indexu „k“ a postup doleva k další číslici.

Krok 2: Spočítej „mod C“ těch mocnin 2, které jsou ≤ B.

5^1 mod 19 = 5

5^2 mod 19 = (5^1 * 5^1) mod 19 = (5^1 mod 19 * 5^1 mod 19) mod 19
5^2 mod 19 = (5 * 5) mod 19 = 25 mod 19
5^2 mod 19 = 6

5^4 mod 19 = (5^2 * 5^2) mod 19 = (5^2 mod 19 * 5^2 mod 19) mod 19
5^4 mod 19 = (6 * 6) mod 19 = 36 mod 19
5^4 mod 19 = 17

5^8 mod 19 = (5^4 * 5^4) mod 19 = (5^4 mod 19 * 5^4 mod 19) mod 19
5^8 mod 19 = (17 * 17) mod 19 = 289 mod 19
5^8 mod 19 = 4

5^16 mod 19 = (5^8 * 5^8) mod 19 = (5^8 mod 19 * 5^8 mod 19) mod 19
5^16 mod 19 = (4 * 4) mod 19 = 16 mod 19
5^16 mod 19 = 16

5^32 mod 19 = (5^16 * 5^16) mod 19 = (5^16 mod 19 * 5^16 mod 19) mod 19
5^32 mod 19 = (16 * 16) mod 19 = 256 mod 19
5^32 mod 19 = 9

5^64 mod 19 = (5^32 * 5^32) mod 19 = (5^32 mod 19 * 5^32 mod 19) mod 19
5^64 mod 19 = (9 * 9) mod 19 = 81 mod 19
5^64 mod 19 = 5

Krok 3: Využij vlastností modulárního násobení ke spojení vypočítaných hodnot „mod C“.

5^117 mod 19 = ( 5^1 * 5^4 * 5^16 * 5^32 * 5^64) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5^1 mod 19 * 5^4 mod 19 * 5^16 mod 19 * 5^32 mod 19 * 5^64 mod 19) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5 * 17 * 16 * 9 * 5 ) mod 19
5^117 mod 19 = 61200 mod 19 = 1
5^117 mod 19 = 1

Poznámky:

Existují lepší optimalizační techniky, ale jsou mimo rozsah tohoto článku. Poznamenejme, že při použí modulárního mocnění jsou v kryptografii nezřídka používány exponenty B > 1000 bitů.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Informatika

Kurz: Informatika > Kapitola 1