Kongruence modulo

Někdy se můžeš setkat s výrazem:

Ten nám říká, že $A$‍ je kongruentní k $B$‍ modulo $C$‍.

Prodiskutujeme význam kongruence modulo provedením myšlenkového experimentu s regulárním modulo operátorem.

Představme si, že počítáme mod 5 pro všechna celá čísla:

Označili jsme 5 řezů čísly 0, 1, 2, 3, 4. Poté jsme každé celé číslo vložili do řezu, který odpovídá hodnotě „celé číslo mod 5“.
Tyto řezy si představme jako chlívečky, které obsahují množiny čísel. Například číslo 26 jde do řezu označené 1, protože $26\text{ mod }5=\mathbf{1}$‍.
Výše je obrázek, který ukazuje některá čísla, jak bychom je nalezli v daných řezech.

Bylo by užitečné mít způsob, kterým lze vyjádřit čísla obsažené v jednom konkrétním řezu. (Všimni si, že 26 je ve stejném řezu jako1, 6, 11, 16, 21 na obrázku výše).

Běžný způsob vyjádření, že dvě hodnoty patří do stejného řezu, je říct, že patří do stejné třídy ekvivalence.
Způsob, jakým se to pro „modulo C“ matematicky vyjadřuje, je: $A\equiv B(\text{mod }C)$‍

Výraz výše čteme jako $A$‍ je kongruentní s $B$‍ modulo $C$‍.

Prohlédněme si výraz blíže:

Například $26\equiv 11(\text{mod }5)$‍

$26\text{ mod }5=1$‍, takže patří do třídy ekvivalence 1,
$11\text{ mod }5=1$‍, takže je také prvkem třídy ekvivalence 1.

Všimni si, že je to rozdílné od $A\text{ mod }C$‍: $26\ne 11\text{ mod }5$‍.

Další vhled do významu kongruence modulo můžeme získat provedením stejného myšlenkového experimentu s přirozeným číslem $C$‍.
Nejdříve označíme $C$‍ řezů takto: $0,1,2,\dots ,C-2,C-1$‍.
Poté každé celé číslo přiřadíme do odpovídajícího řezu, který odpovídá „celé číslo $\text{mod }C$‍“.
Níže je obrázek, který ukazuje některé příklady hodnot, které nalezneme v každém řezu.

Pokud bychom se podívali do řezu označeného 0, našli bychom:

Pokud bychom se podívali do řezu označeného 1, našli bychom:

Pokud bychom se podívali do řezu označeného 2, našli bychom:

Pokud bychom se podívali do řezu označeného $C-1$‍, našli bychom:

Z tohoto experimentu můžeme vyvodit klíčové pozorování:
Hodnoty v každém řezu jsou rovny číslu, kterým je řez označen, plus nebo minus nějaký násobek čísla $\mathbf{C}$‍.
To znamená, že rozdíl mezi libovolnými dvěma hodnotami v daném řezu je nějaký násobek čísla $\mathbf{C}$‍.
Toto pozorování nám pomůže pochopit ekvivalentní tvrzení a třídy ekvivalence.