Hlavní obsah

Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2

Lekce 4: Absolutní hodnota a argument komplexních čísel

Absolutní hodnota a argument komplexních čísel - přehled

Osvěž si své znalosti o absolutní hodnotě a argumentu komplexních čísel včetně toho, jak tyto údaje zjistit z algebraického tvaru komplexního čísla a naopak.


Absolutní hodnota čísla $a + b i$ ‍		$∣ z ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
Argument čísla $a + b i$ ‍ - neboli úhel θ, který se při kladné reálné části může zrychleně vypočítat pomocí arkus tangens, obecně musí splňovat obě rovnosti pro arkus sinus a arkus kosinus:		$\begin{aligned} θ = arctg (\frac{b}{a}) a > 0, \\ θ = a r c s i n (b / ∣ z ∣) \end{aligned}$ ‍ $θ = a r c c o s (a / ∣ z ∣)$ ‍
Algebraický tvar čísla $a + b i$ ‍ zapsaný pomocí jeho absolutní hodnoty $r$ ‍ a argumentu $θ$ ‍		$r \cos (θ) + r \sin (θ) \cdot i$ ‍

Co jsou absolutní hodnota a argument komplexního čísla?

Komplexní čísla jsme zvyklí psát v jejich algebraickém tvaru, ze kterého snadno poznáme jejich

reálnou

imaginární

část. Například

3 + 4 i

je číslo zapsané v algebraickém tvaru.

Pomocí jejich reálné a imaginární části pak komplexní čísla zakreslujeme do komplexní roviny:

Je ale ještě jiný způsob, jak bychom komplexní číslo mohli jednoznačně popsat, a to pomocí jeho

absolutní hodnoty

a velikosti následujícího orientovaného

úhlu

v komplexní rovině:

Absolutní hodnota

komplexního čísla, někdy také nazývaná

modulus

, udává vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině, zatímco jeho

argument

je velikost orientovaného úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku s kladnou reálnou poloosou. Jako počáteční rameno tohoto úhlu bereme vždy kladnou reálnou poloosu.

Absolutní hodnotu komplexního čísla

z

zapisujeme stejně jako absolutní hodnotu reálného čísla, tedy

| z |

Chceš se o absolutní hodnotě a argumentu komplexních čísel dozvědět víc? Podívej se na toto video.

Sada příkladů 1: Určení absolutní hodnoty

Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna druhé odmocnině ze součtu druhých mocnin jeho reálné a imaginární části (jde o přímý důsledek Pythagorovy věty):

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Například absolutní hodnota čísla

3 + 4 i

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Příklad 1.1

| 3 + 7 i | =

Uveď přesný výsledek.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 2: Určení argumentu

Argument daného komplexního čísla můžeme spočítat jako arkus tangens (inverzní tangens), pokud je reálná část kladná. V každém jiném případě je nutné využít obou vztahů s arkus sinem a arkus kosinem:

\begin{aligned} θ = arctg (\frac{b}{a}) p o k u d a > 0, \\ o b e c n ě : \\ θ = a r c s i n (b / | z |) \\ θ = a r c c o s (a / | z |) \end{aligned}

Tyto vztahy platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek (bod

[0; 0]

), dané komplexní číslo v komplexní rovině (bod

[a; b]

) a jeho reálná část zakreslená na reálné ose (bod

[a; 0]

Příklad 1: $I.$ ‍ kvadrant - reálná část je kladná

Zkusme určit argument čísla

3 + 4 i

na intervalu od -180° do 180° včetně:

arctg (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Příklad 2: $II.$ ‍ kvadrant - reálná část je záporná

Zkusme určit argument čísla

- 3 + 4 i

na intervalu od -180° do 180° včetně. Nejprve si všimněme, že číslo

- 3 + 4 i

je v komplexní rovině ve

II.

kvadrantu. Obě následující rovnice budou mít dvě řešení, nás ale bude zajímat a uvedeme pouze společnou hodnotu v daném kvadrantu. Absolutní hodnota zadaného čísla, kterou už hravě zvládneme vypočítat, je 5.

\begin{aligned} θ = \arcsin (\frac{4}{5}) \approx 127 ° \\ θ = a r c c o s (- 3 / 5) \approx 127^{\circ} \end{aligned}

Pokud bychom to počítali pomocí arkus tangens, vyšlo by nám

- 53^{\circ}

, tedy hodnota ve

IV.

kvadrantu a ne ve

II.

kvadrantu. Zde čtenáře upozorňujeme, že se lze setkat s ne vždy spolehlivou taktikou, při které se k výsledku přičte úhel

180^{\circ}

, čímž dostaneme příslušný vedlejší úhel ve

II.

kvadrantu:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Příklad 2.1

z = 1 + 4 i

θ =

^{\circ}

Pokud bude třeba, zaokrouhli svou odpověď na desetiny. $θ$ ‍ vyjádři mezi $- 180^{\circ}$ ‍ a $180^{\circ}$ ‍.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 3: Určení algebraického tvaru čísla z jeho absolutní hodnoty a argumentu

Reálnou a imaginární část daného komplexního čísla z jeho absolutní hodnoty a argumentu určíme tak, že absolutní hodnotu vynásobíme zvlášť kosinem (tím dostaneme reálnou část) a zvlášť sinem (tím dostaneme imaginární část) argumentu:

\overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \cdot i

Tyto vztahy platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek (bod

[0; 0]

), dané komplexní číslo v komplexní rovině (bod

[a; b]

) a jeho reálná část zakreslená na reálné ose (bod

[a; 0]

Například komplexní číslo s absolutní hodnotou

2

a argumentem

30^{\circ}

má tento algebraický tvar:

2 \cos (30^{\circ}) + 2 \sin (30^{\circ}) i = \sqrt{3} + 1 i

Příklad 3.1

| z_{1} | = 3

θ_{1} = 20^{\circ}

z_{1} =

i

Výsledná čísla zaokrouhli na tisíciny.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Zkus toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Komplexní čísla