Hlavní obsah

Kurz: Informatika – Počítače a internet > Kapitola 1

Lekce 2: Různé číselné soustavy

Binární čísla

📺 Chceš se raději učit o binárních číslech pomocí videonahrávek? Tak jednoduše tento článek přeskoč a pusť si videa.

Lidé obvykle vyjadřují čísla v desítkové soustavě. Napočítat do deseti je velmi jednoduché

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Jak jsme se nedávno dozvěděli, počítače reprezentují všechny informace v bitech. Pro znázornění čísel pouze s

0

1

, používají počítače dvojkovou číselnou soustavu. Zde je ukázka toho, jak to vypadá, když počítač počítá do deseti:

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

Opakování: Čísla v desítkové soustavě

Dříve, než se ponoříme do fungování dvojkové soustavy, pojďme se podívat na našeho starého známého, na desítkovou soustavu. Když jsme se učili počítat, učili jsem se, že čísla nejvíce vpravo reprezentují "jednotky", pak následují "desítky" a "stovky", atd.

Jinými slovy se číslo nejvíce vpravo násobí číslem

1

, číslo nalevo od něj se násobí číslem

10

a číslo dvě místa od něj se násobí číslem

100

Pojďme si vizualizovat číslo

234

$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
stovky	desítky	jednotky
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍

Když každou číslici vynásobíme dle jejího místa, vidíme, že

234

se rovná

(2 \cdot 100) + (3 \cdot 10) + (4 \cdot 1)

Můžeme o daných místech přemýšlet také z hlediska mocnin čísla deset. Místo pro jednotky představuje násobení

10^{0}

, místo pro desítky představuje násobení

10^{1}

a místo pro stovky představuje násobení

10^{2}

. Pro každé místo, o které se posuneme, násobíme danou číslici další mocninou čísla

10

2	3	4
stovky	desítky	jednotky
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍
$10^{2}$ ‍	$10^{1}$ ‍	$10^{0}$ ‍

Binární čísla

Dvojková soustava funguje stejně jako ta desítková. Jediný rozdíl spočívá v tom, že místo násobení číslice mocninou čísla

10

, násobíme číslici mocninou čísla $2$ ‍.

Podívejme se na desítkové číslo

1

, které se binárně reprezentuje jako

0001

$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Je to totéž jako

(0 \cdot 8) + (0 \cdot 4) + (0 \cdot 2) + (1 \cdot 1)

, nebo

0 + 0 + 0 + 1

Dobrá, to asi nebylo těžké uhodnout - teď si dáme větší číslo!

Desítkové číslo

10

se binárně reprezentuje jako

1010

$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Je to totéž jako

(1 \cdot 8) + (0 \cdot 4) + (1 \cdot 2) + (0 \cdot 1)

, nebo

8 + 0 + 2 + 0

. Binární číslo

1010

se skutečně rovná číšlu

10

v desítkové soustavě.

Pojď si to zkusit: Jak zobrazíš desítkové číslo

6

binárně?

Pokud se ti to povedlo zjistit, blahopřeji! Pokud ne, je to zcela v pořádku: existují techniky, které ti pomohou mezi číselnými soustavami převádět, a když se tyto techniky naučíš, hodně ti to ulehčí práci.

Převod desítkového čísla na binární

Zde je můj oblíbený způsob převádění desítkových čísel na binární:

Vezmi si kus papíru nebo tabuli.
Pro každý z bitů nakresli pomlčku. Pokud je číslo menší než $16$ ‍, nakresli $4$ ‍ pomlčky. V opačném případě pro čísla do $255$ ‍ nakresli $8$ ‍ pomlček. Větší čísla vyžadují více bitů a chvilku to potrvá udělat je ručně, takže se zaměříme na menší čísla.
Pod každou pomlčku napiš mocniny čísla $2$ ‍ . Začni pod nejpravější pomlčkou, napíšeš $1$ ‍, pak pokračuj v násobení číslem $2$ ‍.
Teď začni u pomlčky nejvíce vlevo a zeptej se "Je toto číslo větší nebo rovno hodnotě tohoto místa?" Pokud odpovíš ano, pak napiš u pomlčky $1$ ‍ a odečti tuto hodnotu od čísla. Pokud odpovíš ne, napiš $0$ ‍ a přejdi k další pomlčce.
Pokračuj zleva doprava a udržuj si přehled o tom, kolik toho ještě musíš reprezentovat. Až budeš hotov, bude číslo převedeno na binární!

Zde je ukázka toho, jak převést desítkové číslo

6

"Hmm, 6 je méně než 16, takže 4 bity budou postačovat..."

\frac{}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Hm, 6 je menší než 8, takže jako první napíšu 0..."

\frac{0}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"6 je větší než 4, takže jako další napíšu 1..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

"Ok, 6 - 4 = 2, takže musím stále reprezentovat 2. Poznamenám si to..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

(Zbývá: 2)

"2 je rovno 2, takže jako další napíšu 1..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

"2 - 2 = 0, takže už není co reprezentovat!"

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

(Zbývá: 0)

"Do posledního bitu doplním 0, protože už mám vše hotovo..."

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{0}{1}

V případě, že by tě to zajímalo: existuje pouze jeden způsob, jak reprezentovat libovolné číslo ve dvojkové soustavě, stejně jako je pouze jeden způsob, jak reprezentovat libovolné číslo v desítkové soustavě. Jakákoli technika, kterou pro převod desítkového čísla na binární číslo použiješ, by měla vést ke stejnému číslu.

Vyzkoušej si teď převést další číslo, buď pomocí naší techniky nebo podle sebe.

Jak zobrazíš desítkové číslo

11

binárně?

Pojďme na větší čísla. Jak zobrazíš desítkové číslo

25

binárně?

Vzorce u binárních čísel

V předešlých dvou otázkách byla převedena lichá čísla. V binární soustavě je na lichých číslech něco zajímavého. Zde je pro ukázku několik dalších lichých čísel:

Desítkové	Binární
$3$ ‍	$0011$ ‍
$5$ ‍	$0101$ ‍
$7$ ‍	$0111$ ‍
$9$ ‍	$1001$ ‍

Vidíš nějaký vzorec?

Zkontroluj si, že tomu rozumíš

Pokud si myslíš, že tomu rozumíš, zkus odpovědět na tuto otázku: které z těchto velmi velkých binárních čísel je liché?

Ve skutečnosti není potřeba převádět tato velká čísla do desítkové soustavy, aby se na otázku dalo odpovědět – stačí zkontrolovat pouze jednu informaci – poslední část čísla. Poslední část je vždy pro jednotky, a pokud je číslo liché, musí mít na místě pro jednotky

1

. Ve dvojkové soustavě neexistuje způsob, jak vytvořit liché číslo bez místa pro jednotky, protože každé další místo je mocninou čísla

2

. Tato znalost ti může pomoct lépe porozumět binárním číslům.

U binárních čísel se vyskytuje další zajímavý vzorec. Podívej se na to:

Desítkové	Binární
$3$ ‍	$11$ ‍
$7$ ‍	$111$ ‍
$15$ ‍	$1111$ ‍

Každé z těchto desítkových čísel je nějaká mocnina

2

minus

1

4 - 1 = 3

8 - 1 = 7

16 - 1 = 15

. Pokud má binární číslo

1

na každém svém místě, pak se bude vždy rovnat největšímu číslu, které může být reprezentováno tímto počtem bitů. Pokud chceš k tomu číslu přičíst

1

, musíš přidat další bit. Je to jako

9

99

999

v desítkové soustavě.

Jak se ukazuje, nejvyšší číslo, které může být reprezentováno

n

počtem bitů, je stejné jako

2^{n} - 1

Bity ( $n$ ‍)	Nejvyšší číslo	( $2^{n} - 1$ ‍)
1	$1$ ‍	$(2^{1} - 1)$ ‍
2	$3$ ‍	$(2^{2} - 1)$ ‍
3	$7$ ‍	$(2^{3} - 1)$ ‍
4	$15$ ‍	$(2^{4} - 1)$ ‍

Co si myslíš: co reprezentuje číslo

11111

v desítkové soustavě?

Můžeš to celkem rychle spočítat za pomocí naší předchozí strategie. Existuje však ještě jedna strategie s ohledem na to, co jsme se právě naučili: můžeš spočítat počet bitů (

5

), vypočítat

2^{5}

jako

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

, a pak odečíst

1

Toto vše ti pomůže získat intuitivnější porozumění binárním číslům. Možná si nebudeš pamatovat úplně vše, ale to je v pořádku. Máš před sebou spoustu příležitostí na procvičování.

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Máš k tomuto tématu nějaké dotazy? Rádi ti je zodpovíme — zeptej se v sekci pro dotazy níže!

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.